Calcul du Frobenius divisé modulo $p$ sur la cohomologie cristalline de certains revêtements de la droite projective

Pierrot, Amandine

Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres (2020), pp. 61-103.

Dans cet article nous décrivons une famille de revêtements modérément ramifiés de la droite projective sur un corps fini, pour lesquels nous effectuons le calcul de la matrice du Frobenius divisé cristallin. Les formules que nous obtenons généralisent les formules de Hasse–Witt classiques dans le cas des courbes hyperelliptiques. Un des outils est un résultat récent de Huyghe–Wach qui démontre que le Frobenius divisé cristallin coïncide avec le morphisme explicite, construit par Deligne–Illusie en 1987, pour établir la dégénérescence de la suite spectrale de Hodge vers de Rham dans le cas algébrique.

In this paper we describe a family of tamely ramified coverings of the projective line over a finite field, for which we compute the matrix of the divided crystalline Frobenius. The formulas we obtain generalize the classical Hasse–Witt formulas in the case of hyperelliptic curves. Our result relies on a result of Huyghe–Wach which shows that the divided crystalline Frobenius coincides with the explicit morphism, constructed by Deligne–Illusie in 1987, for their proof of the degeneration of the Hodge–de Rham spectral sequence in the algebraic case.

Classification : 14F40, 11S23, 14F30
Mots clés : Divided Frobenius, super-elliptic curves, Hasse–Witt matrix, Deligne–Illusie morphism, de Rham cohomology, crystalline cohomology

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