The natural extension of the Gauss map and the Hermite best approximations

Chevallier, Nicolas

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 34 (2022) no. 2, pp. 619-636.

Following Humbert and Lagarias, given a real number $\theta$, we call a nonzero vector $(p,q)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}$ a Hermite best approximation vector of $\theta$ if it minimizes a quadratic form $f_{\Delta }(x,y)={(x-y\theta )}^2+\frac{y^2}{\Delta }$ for at least one real number $\Delta >0$. Hermite observed that if $(p,q)$ is such a minimum with $q>0$, then the fraction $p/q$ must be a convergent of the continued fraction expansion of $\theta$. Using minimal vectors in lattices, we give new proofs of some results of Humbert and Meignen and complete their works. In particular, we show that the proportion of Hermite best approximation vectors among convergents is almost surely $ln3/ln4$. The main tool of the proofs is the natural extension of the Gauss map $x\in ]0,1[\to \{1/x\}$.

À la suite de Humbert et Lagarias, étant donnée un réel $\theta$, nous appelons vecteur meilleure approximation de Hermite de $\theta$, tout vecteur non nul à coordonnées entières qui minimise une forme quadratique $f_{\Delta }(x,y)={(x-y\theta )}^2+\frac{y^2}{\Delta }$ pour au moins un réel $\Delta >0$. Hermite a observé que si $(p,q)$ est un tel minimum avec $q>0$, alors la fraction $p/q$ doit être une réduite du développement en fraction continue de $\theta$. En utilisant les vecteurs minimaux dans les réseaux, nous donnons de nouvelles preuves de certains résultats de Humbert et Meignen et complétons leurs travaux. En particulier, nous montrons que la proportion des vecteurs meilleures approximations de Hermite parmi les réduites est presque sûrement de $ln3/ln4$. L’outil principal des preuves est l’extension naturelle de l’application de Gauss $x\in ]0,1[\to \{1/x\}$.

Classification: 11J70, 37A44
Keywords: continued fraction, best Diophantine approximation, lattice, Gauss map, natural extension

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