Local constancy for reductions of two-dimensional crystalline representations

Torti, Emiliano

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 2, pp. 345-370.

Nous prouvons l’existence du phénomène de constance locale pour les réductions modulo $p^n$ ($p$ impair) des représentations de $\mathrm{Gal}({\overline{\mathbb{Q}}}_p/{\mathbb{Q}}_p)$ de dimension 2 qui sont cristallines et irréductibles. Ces représentations dépendent de deux paramètres : une trace $a_p$ et un poids $k$. Par exemple, elles apparaissent comme les représentations attachées aux formes modulaires classiques dont le niveau n’est pas divisible par $p$. Nous trouvons un résultat de constance locale (explicite) par rapport à $a_p$, en utilisant la théorie des $(\phi ,\Gamma )$-modules de Fontaine, son raffinement cristallin via les modules de Wach par Berger et leurs propriétés de continuité. Le résultat de constance locale par rapport à $k$ (pour $a_p\ne 0$) découlera d’une étude locale de l’espace analytique rigide de Colmez qui paramétrise les représentations triangulines. Ce travail généralise certains résultats de Berger obtenus dans le cas résiduellement semi-simple.

We prove the existence of local constancy phenomena for reductions in a general (odd) prime power setting of two-dimensional irreducible crystalline representations of $\mathrm{Gal}({\overline{\mathbb{Q}}}_p/{\mathbb{Q}}_p)$. These representations depend on two parameters: a trace $a_p$ and a weight $k$. They appear for example in the context of classical modular forms of tame level. We find an (explicit) local constancy result with respect to $a_p$ using Fontaine’s theory of $(\phi ,\Gamma )$-modules, its crystalline refinement due to Berger via Wach modules and their continuity properties. The local constancy result with respect to $k$ (for $a_p\ne 0$) will follow from a local study of Colmez’s rigid analytic space parametrizing trianguline representations. This work extends some results of Berger obtained in the residually semi-simple case.

Classification : 11F80, 11F70, 14G22, 13F20
Mots clés : Integral p-adic Hodge Theory, Crystalline Representations, $(\varphi , \Gamma )$-modules

[1] Arsovski, Bodan Limiting measures of supersingularities (2021) (https://arxiv.org/abs/1991.12220)

[2] Arsovski, Bodan On the reductions of certain two-dimensional crystalline representations, III (2021) (https://arxiv.org/abs/2102.13568)

[3] Bellaïche, Joël Ranks of Selmer groups in an analytic family, Trans. Am. Math. Soc., Volume 364 (2012) no. 9, pp. 4735-4761 | DOI | MR | Zbl

[4] Bellovin, Rebecca $p$-adic Hodge theory in rigid analytic families, Algebra Number Theory, Volume 9 (2015) no. 2, pp. 371-433 | DOI | MR | Zbl

[5] Bergdall, John; Levin, Brandon Reductions of Some Two-Dimensional Crystalline Representations via Kisin Modules, Int. Math. Res. Not., Volume 2022 (2022) no. 4, pp. 3170-3197 | DOI | MR | Zbl

[6] Berger, Laurent Limites de représentations cristallines, Compos. Math., Volume 140 (2004) no. 6, pp. 1473-1498 | DOI | Zbl

[7] Berger, Laurent Trianguline representations, Bull. Lond. Math. Soc., Volume 43 (2011) no. 4, pp. 619-635 | DOI | MR | Zbl

[8] Berger, Laurent Local constancy for the reduction $modp$ of 2-dimensional crystalline representations, Bull. Lond. Math. Soc., Volume 44 (2012) no. 3, pp. 451-459 | DOI | Zbl

[9] Berger, Laurent; Colmez, Pierre Familles de représentations de de Rham et monodromie $p$-adique, Représentations $p$-adiques de groupes $p$-adiques. I. Représentations galoisiennes et $(\varphi ,\Gamma )$-modules (Astérisque), Volume 319, Société Mathématique de France, 2008, pp. 303-337 | Numdam | Zbl

[10] Berger, Laurent; Li, Hanfeng; Zhu, Hui June Construction of some families of 2-dimensional crystalline representations, Math. Ann., Volume 329 (2004) no. 2, pp. 365-377 | DOI | MR | Zbl

[11] Bhattacharya, Shalini Reduction of certain crystalline representations and local constancy in the weight space (2018) (https://arxiv.org/abs/1801.07754)

[12] Bhattacharya, Shalini; Ghate, Eknath Reductions of Galois representations for slopes in $(1,2)$, Doc. Math., Volume 20 (2015), pp. 943-987 | MR | Zbl

[13] Bhattacharya, Shalini; Ghate, Eknath; Rozensztajn, Sandra Reductions of Galois representations of slope 1, J. Algebra, Volume 508 (2018), pp. 98-156 | DOI | MR | Zbl

[14] Bosch, Siegfried; Güntzer, Ulrich; Remmert, Reinhold Non-Archimedean analysis, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 261, Springer, 1984, xii+436 pages | DOI

[15] Bourbaki, Nicolas Elements of mathematics. Algebra I. Chapters 1–3, Springer, 1998

[16] Breuil, Christophe Sur quelques représentations modulaires et $p$-adiques de ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbf{Q}}_p\right)$. II, J. Inst. Math. Jussieu, Volume 2 (2003) no. 1, pp. 23-58 | Zbl

[17] Buzzard, Kevin; Gee, Toby Explicit reduction modulo $p$ of certain two-dimensional crystalline representations, Int. Math. Res. Not., Volume 2009 (2009) no. 12, pp. 2303-2317 | MR | Zbl

[18] Chenevier, Gaëtan Sur la densité des représentations cristallines de $\mathrm{Gal}({\overline{\mathbb{Q}}}_p/{\mathbb{Q}}_p)$, Math. Ann., Volume 355 (2013) no. 4, pp. 1469-1525 | MR | Zbl

[19] Chenevier, Gaëtan Une application des variétés de Hecke des groupes unitaires, Shimura varieties (London Mathematical Society Lecture Note Series), Volume 457, Cambridge University Press, 2020, pp. 266-296 | Zbl

[20] Coleman, Robert F.; Edixhoven, Bas On the semi-simplicity of the $U_p$-operator on modular forms, Math. Ann., Volume 310 (1998) no. 1, pp. 119-127 | DOI | MR | Zbl

[21] Colmez, Pierre Représentations triangulines de dimension 2, Représentation $p$-adiques de groupes $p$-adiques I. Représentations galoisiennes et $(\varphi ,\Gamma )$-modules. (Astérisque), Volume 319, Société Mathématique de France, 2008, pp. 213-258 | Numdam | Zbl

[22] Colmez, Pierre $(\varphi ,\Gamma )$-modules et représentations du mirabolique de ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbf{Q}}_p\right)$, Représentation $p$-adiques de groupes $p$-adiques II. Représentations de ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$ $(\varphi ,\Gamma )$-modules. (Astérisque), Volume 330, Société Mathématique de France, 2010, pp. 61-153

[23] Colmez, Pierre; Fontaine, Jean-Marc Construction des représentations $p$-adiques semi-stables, Invent. Math., Volume 140 (2000) no. 1, pp. 1-43 | DOI | Zbl

[24] Conrad, Brian Several approaches to non-Archimedean geometry, $p$-adic geometry (University Lecture Series), Volume 45, American Mathematical Society, 2008, pp. 9-63 | MR | Zbl

[25] Dee, Jonathan $\Phi$-$\Gamma$ modules for families of Galois representations, J. Algebra, Volume 235 (2001) no. 2, pp. 636-664 | MR | Zbl

[26] Fontaine, Jean-Marc Représentations $p$-adiques des corps locaux. I, The Grothendieck Festschrift. Volume II (Progress in Mathematics), Volume 87, Birkhäuser, 1990, pp. 249-309 | MR | Zbl

[27] Ghate, Eknath A zig-zag conjecture and local constancy for Galois representations (2019) (https://arxiv.org/abs/1903.08996)

[28] Gouvêa, Fernando Q. $p$-adic numbers: An introduction, Universitext, Springer, 1997 | DOI

[29] Kedlaya, Kiran S. A $p$-adic local monodromy theorem, Ann. Math., Volume 160 (2004) no. 1, pp. 93-184 | DOI | MR | Zbl

[30] Kisin, Mark Deformations of $G_{{\mathbb{Q}}_p}$ and ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$ representations, Représentation $p$-adiques de groupes $p$-adiques II. Représentations de ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$ $(\varphi ,\Gamma )$-modules. (Astérisque), Volume 330, Société Mathématique de France, 2010, pp. 511-528

[31] Paskunas, Vytautas On some crystalline representations of ${\mathrm{GL}}_{\mathsf{2}}\left({\mathbb{Q}}_{\mathsf{p}}\right)$, Algebra Number Theory, Volume 3 (2009) no. 4, pp. 411-421 | DOI | MR | Zbl

[32] Rozensztajn, Sandra On the locus of $2$-dimensional crystalline representations with a given reduction modulo $p$ (2017) (https://arxiv.org/abs/1705.01060)

[33] Scholl, Anthony J. Motives for modular forms, Invent. Math., Volume 100 (1990) no. 2, pp. 419-430 | DOI | MR | Zbl