Calcul fonctionnel dépendant de la croissance des coefficients spectraux
Annales de l'Institut Fourier, Volume 27 (1977) no. 4, pp. 169-199.

Let a 1 ,...,a n be elements of a commutative b-algebra with unit. We define and study a “spectrum” of a=(a 1 ,...,a n ) which depends on the growth of functions u 1 (s),...,u n (s) of the spectral equality

( a 1 - s 1 ) u 1 ( s ) + + ( a n - s n ) u n ( s ) = 1

near the joint spectrum. From the properties of this spectrum, we construct a functional calculus which, in the Banach case, extends to a class of functions supposed only holomorphic in the interior of the joint spectrum. This functional calculus also allows to study the regularity of elements a 1 ,...,a n and of functions u 1 (s),...,u n (s).

Soient a 1 ,...,a n des éléments d’une b-algèbre commutative unifère A. On définit et étudie un “spectre” de a=(a 1 ,...,a n ) qui dépend de la croissance des fonctions u 1 (s),...,u n (s) de l’égalité spectrale

( a 1 - s 1 ) u 1 ( s ) + + ( a n - s n ) u n ( s ) = 1

près du spectre simultané. À partir des propriétés de ce spectre, on construit un calcul fonctionnel qui, réduit au cas banachique, s’étend à certaines fonctions supposées seulement holomorphes à l’intérieur du spectre simultané. Ce calcul fonctionnel permet aussi d’étudier la régularité des éléments a 1 ,...,a n et des fonctions u 1 (s),...,u n (s).

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[1] G. R. Allan, H. G. Dales and J. P. Mcclure, Pseudo Banach Algebras, Studia Math., 15 (1971), 55-69. | MR | Zbl

[2] B. André, Une construction du calcul fonctionnel dans les algèbres complètes, Thèse de troisième cycle, Nancy 1972.

[3] R. Arens and A. P. Calderon, Analytic functions of several Banach algebra elements, Ann. of Math., (2) 62 (1955), 204-216. | MR | Zbl

[4] H. Buchwalter, Topologies, bornologies et compactologies, Thèse, Lyon 1968.

[5] I. Cnop, A theorem concerning holomorphic functions with bounded growth, Thesis, Vrije Universiteit Brussel 1971.

[6] I. Cnop, Spectral study of holomorphic functions with bounded growth, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, XXII, 2 (1972), 293-309. | Numdam | MR | Zbl

[7] J. P. Ferrier, Séminaire sur les algèbres complètes, Springer Lect. Notes, 164 (1970). | MR | Zbl

[8] J. P. Ferrier, Spectral theory and Complex Analysis, North-Holland Math. Studies, 4 (1973). | MR | Zbl

[9] I. M. Gelfand, Normierte Ringe, Mat. Sb., 9 (51) (1941), 3-24. | JFM | MR | Zbl

[10] H. Hogbe-Nlend, Théorie des bornologies et applications, Springer Lect. Notes, 213 (1971). | MR | Zbl

[11] H. Hogbe-Nlend, Les fondements de la théorie spectrale des algèbres bornologiques, Bol. Soc. Bras. Mat., 3 (1) (1972). | MR | Zbl

[12] L. Hörmander, Generators for some rings of analytic functions, Bull. Amer. Math. Soc., 73 (1967), 943-949. | MR | Zbl

[13] Nguyen T. H., Croissance des coefficients spectraux et calcul fonctionnel, Thèse, Université Libre de Bruxelles 1976.

[13′] Nguyen T. H. Calcul symbolique dépendant de la croissance des cœfficients spectraux, C. R. Acad. Sc. Paris, A 283 (1976), 931-933. | Zbl

[14] P. Pflug, Eigenschaften der Fortsetzungen von in speziellen Gebieten Holomorphen Polynomialen Funktionen in die Holomorphiehüllen, Thèse, Göttingen 1972.

[15] L. Schwartz, Théorie des distributions, Hermann Paris (1966).

[16] G. E. Shilov, On the decomposition of a commutative normed ring into a direct sum of ideals, Mat. Sb., 32 (74) (1953), Amer. Math. Soc. Transl., (II) 1 (1955). | Zbl

[17] E. M. Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton Univ. Press (1970). | MR | Zbl

[18] L. Waelbroeck, Le calcul symbolique dans les algèbres commutatives, J. Math. P. et Appl., 33 (1954), 147-186. | MR | Zbl

[19] L. Waelbroeck, Étude spectrale des algèbres complètes, Acad. Roy. Belg., Cl. des Sc., Mémoires, (1960). | MR | Zbl

[20] L. Waelbroeck, Une partition de l'unité dans θ(s ; δ), Acad. Roy. Belg., Cl. des Sc., Bull., (1962), 17-28. | MR | Zbl

[21] L. Waelbroeck, Calcul symbolique lié à la croissance de la résolvante, Rend. Sem. Mat. e fis. di Milano, XXXIV (1964). | Zbl

[22] L. Waelbroeck, Topological vector spaces and algebras, Springer Lect. Notes, 230 (1971). | MR | Zbl

[23] L. Waelbroeck, The holomorphic functional calculus and non-Banach algebras, in « Algebras in Analysis » (edit. by J. H. Williams on) Academic Press, (1975), 187-254. | MR | Zbl

[24] H. Whitney, Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets, Trans. Amer. Math. Soc., 36 (1934), 63-89. | JFM | MR | Zbl

[25] C. Wrobel, Extension du calcul fonctionnel holomorphe et application à l'approximation, C.R. Acad. Sc. Paris, A 275 (1972), 175-177. | MR | Zbl

[26] C. Wrobel, Extension du calcul fonctionnel holomorphe, Rev. Math., n° 1, Inst. E. Cartan, Nancy (1975). | Zbl

Cited by Sources: