On functions whose translates are independent
Annales de l'Institut Fourier, Volume 3 (1951), pp. 31-72.

Ce travail est l’étude de divers cas particuliers d’un problème nouveau, semble-t-il, concernant les translatées de fonctions ou de distributions sur un groupe. Soit E un espace vectoriel topologique de fonctions ou de distributions sur un groupe abélien G localement compact ; E est supposé invariant par les translations af a (x)=f(x+a)(fE,aG). Si fE et si A est un sous-ensemble non vide de G, I(f,A)=I(f,A,E) désigne le sous-espace vectoriel fermé de E engendré par les translatées f a de f avec aA. On dira qu’une fE a ses translatées indépendantes dans E si f a I(f,A) quel que soit l’ensemble fermé A ne contenant pas a.

Sous certaines hypothèses, satisfaites par tous les espaces E usuels, on donne (section 2) des conditions nécessaires et suffisantes très générales pour que f ait ses translatées indépendantes. Ces conditions sont étudiées dans les cas suivants : E=L 2 G, avec G discret (section 3), G=T (section 4), G=R (section 5). Dans les cas G=T ou R on obtient également des renseignements sur E=L 1 G et sur les espaces de distributions. La section 6 concerne l’espace E=CR m des fonctions continues sur R m , muni de la topologie de la convergence compacte. Lorsque G est compact, des conditions suffisantes pour qu’une fL 2 G ait ses translatées indépendantes dans cet espace sont obtenues (section 7) à l’aide d’un théorème de S ˇilov concernant la régularité de certains anneaux normés. Diverses extensions sont signalées dans la section 8, où le problème est relié à des questions d’approximations par polynômes trigonométriques et à la théorie des fonctions définies positives.

Dans presque tous les cas, la méthode utilisée dépend des relations entre l’analyse harmonique et les classes quasi-analytiques de fonctions ; le manque d’informations précises dans cette direction rend difficile une étude détaillée du cas général où G est un groupe quelconque. Si une conclusion générale peut s’énoncer brièvement, c’est la suivante : pour que f ait ses translatées indépendantes, il faut et il suffit que sa transformée de Fourier F (en un sens convenable) ne soit pas “trop petite” à l’infini et ne s’annule pas “trop souvent”. Le sens précis qu’il faut attribuer à ces conditions varie notablement d’un cas à l’autre.

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Cited by Sources: