Applying the “exact WKB method” (cf. Delabaere-Dillinger-Pham) to the stationary one-dimensional Schrödinger equation with polynomial potential, one is led to a multivalued complex action-integral function. This function is a (hyper)elliptic integral; the sheet structure of its Riemann surface above the plane of its values has interesting properties: the projection of its branch-points is in general a dense subset of the plane, and there is a group of symmetries acting on the surface. The distribution of the branch points on the surface is of crucial importance, because it gives the position for the obstacles to Borel-Laplace summation of the WKB-symbols. In “Approche de la résurgence” by B. Candelpergher, J.-C. Nosmas et F. Pham, p. 103-105, an attempt has been made towards giving an explicit construction of the surface with paper, scissors and glue; here we give the correct construction and in addition we prove that each surface constructed in this way comes from a polynomial potential. Along the way we are lead to an elementary conjecture in the theory of holomorphic functions.
Utilisant la méthode “BKW exacte” (cf. Delabaere-Dillinger-Pham) pour l’équation de Schrödinger stationnaire à une dimension avec potentiel polynomial, on est amené à considérer une fonction d’action complexe multivaluée. C’est une intégrale (hyper)elliptique ; la structure de sa surface de Riemann au-dessus du plan de ses valeurs révèle des propriétés intéressantes : la projection de ses points de ramification est en général une partie dense du plan, et il y a un groupe de symétries qui opère sur la surface. La distribution des points de ramification est importante, car elle donne la position des obstacles à la sommation de Borel-Laplace des symboles BKW. Dans l’ouvrage “Approche de la résurgence” de B. Candelpergher, J.-C. Nosmas et F. Pham, p. 103-105, un essai a été fait pour construire explicitement la surface à l’aide de papier, colle et ciseaux ; ici on donne la construction correcte et, en plus, on prouve que toute surface ainsi construite provient d’un potentiel polynomial. Au passage, nous sommes amenés à formuler une conjecture élémentaire en théorie des fonctions holomorphes.
@article{AIF_1999__49_1_303_0, author = {Elsner, Bernhard}, title = {Hyperelliptic action integral}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {303--331}, publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier}, volume = {49}, number = {1}, year = {1999}, doi = {10.5802/aif.1675}, mrnumber = {2000f:14069}, zbl = {0935.32012}, language = {en}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1675/} }
TY - JOUR AU - Elsner, Bernhard TI - Hyperelliptic action integral JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1999 SP - 303 EP - 331 VL - 49 IS - 1 PB - Association des Annales de l’institut Fourier UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1675/ DO - 10.5802/aif.1675 LA - en ID - AIF_1999__49_1_303_0 ER -
Elsner, Bernhard. Hyperelliptic action integral. Annales de l'Institut Fourier, Volume 49 (1999) no. 1, pp. 303-331. doi : 10.5802/aif.1675. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1675/
[1] Approche de la résurgence, Actualités Mathématiques, Hermann, 1993. | MR | Zbl
, , ,[2] Résurgence de Voros et périodes des courbes hyperelliptiques, Ann. Inst. Fourier, 43-1 (1993), 163-199. | Numdam | MR | Zbl
, , ,[3] Asymptotic Analysis, Springer, 1993.
,[4] Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings, Pure and Applied Mathematics Monographs, Marcel Dekker, 1970. | MR | Zbl
,[5] Combinatorial Group Theory, Interscience Publishers, 1966.
, , ,[6] Tata Lectures on Theta II, Birkhäuser, 1984.
,[7] Image of period mapping for simple singularities, Lecture Notes in Mathematics 1334, Springer, 1988. | MR | Zbl
,[8] Résurgence quantique, Ann. Inst. Fourier, 43-5 (1993), 1509-1534. | Numdam | MR | Zbl
,[9] Linear Turning Point Theory, Applied Mathematical Sciences 54, Springer, 1985. | MR | Zbl
,Cited by Sources: