Commutative character sheaves and geometric types for supercuspidal representations

Cunningham, Clifton; Roe, David

Annales Henri Lebesgue, Volume 4 (2021), pp. 1389-1420.

We show that some types for supercuspidal representations of tamely ramified $p$-adic groups that appear in Jiu-Kang Yu’s work are geometrizable. To do so, we define a function-sheaf dictionary for one-dimensional characters of arbitrary smooth group schemes over finite fields. In previous work we considered the case of commutative smooth group schemes and found that the standard definition of character sheaves produced a dictionary with a nontrivial kernel. In this paper we give a modification of the category of character sheaves that remedies this defect, and is also extensible to non-commutative groups. We then use these commutative character sheaves to geometrize the linear characters that appear in the types introduced by Jiu-Kang Yu, assuming that the character vanishes on a certain derived subgroup. To define geometric types, we combine commutative character sheaves with Gurevich and Hadani’s geometrization of the Weil representation and Lusztig’s character sheaves.

Nous montrons que certains types associés à des représentations supercuspidales de groupes $p$-adiques modérément ramifiés qui apparaissent dans les travaux de Jiu-Kang Yu sont géométrisables. Pour cela, nous définissons un dictionnaire entre fonctions et faisceaux pour les caractères de dimension un de schémas en groupes arbitraires sur les corps finis. Dans un travail précédent, nous avons considéré le cas des schémas en groupes lisses commutatifs et nous avons montré que la définition standard des faisceaux caractères donne lieu à un dictionnaire avec un noyau non trivial. Dans cet article, nous proposons une modification de la catégorie des faisceaux caractères qui corrige ce défaut et s’étend aux groupes non commutatifs. Nous utilisons ensuite ces faisceaux caractères commutatifs pour géométriser les caractères linéaires qui apparaissent dans les types introduits par Jiu-Kang Yu, en supposant que le caractère s’annule sur un certain sous-groupe dérivé. Pour définir les types géométriques, nous combinons les faisceaux caractères commutatifs avec la géométrisation par Gurevich et Hadani de la représentation de Weil et les faisceaux caractères de Lusztig.

Classification: 14F06, 14L15, 22E50
Mots-clés : function-sheaf dictionary, commutative character sheaves, types for supercuspidal representations

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