Submersions and effective descent of étale morphisms
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 138 (2010) no. 2, pp. 181-230.

Using the flatification by blow-up result of Raynaud and Gruson, we obtain new results for submersive and subtrusive morphisms. We show that universally subtrusive morphisms, and in particular universally open morphisms, are morphisms of effective descent for the fibered category of étale morphisms. Our results extend and supplement previous treatments on submersive morphisms by Grothendieck, Picavet and Voevodsky. Applications include the universality of geometric quotients and the elimination of noetherian hypotheses in many instances.

On applique le théorème de « platification » de Raynaud et Gruson aux morphismes subtrusifs et obtient le théorème de structure suivant : Tout morphisme universellement subtrusif de présentation finie a un raffinement se factorisant en un recouvrement ouvert suivi d'un morphisme propre. La première application de ce théorème de structure est un théorème de descente effective. On montre que tout morphisme universellement subtrusif est un morphisme de descente effective pour la catégorie fibrée des morphismes étales. Ce résultat réduit l'écart entres schémas et espaces algébriques. Par exemple, on peut montrer que des quotients géométriques sont universels dans la catégorie des espaces algébriques. La deuxième application concerne les limites projectives de schémas. On démontre que tout morphisme universellement subtrusif de présentation finie est la limite de morphismes universellement submersifs entre schémas noethériens. Il en découle que la classe de morphismes subtrusifs, introduite par Picavet, est une extension naturelle de la classe de morphismes submersifs entre schémas noethériens. Avec des méthodes semblables on montre aussi un énoncé analogue pour les morphismes universellement ouverts. De plus, on généralise aux espaces algébriques les propriétés fondamentales des topologies h et qfh introduites par Voevodsky.

DOI: 10.24033/bsmf.2588
Classification: 14A15,  13B22,  13B24,  13B40,  14F20,  14F43
Keywords: submersive, subtrusive, universally open, descent, étale, blow-up, h-topology, algebraic spaces
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[1] Schémas en groupes. I: Propriétés générales des schémas en groupes - Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1962/64 (SGA 3). Dirigé par M. Demazure et A. Grothendieck. Lecture Notes in Math., vol. 151, Springer, 1970. | MR | Zbl

[2] A. Andreotti & E. Bombieri - « Sugli omeomorfismi delle varietà algebriche », Ann. Scuola Norm. Sup Pisa 23 (1969), p. 431-450. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[3] M. Artin, A. Grothendieck & J. L. Verdier (éds.) - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 3, Lecture Notes in Math., vol. 305, Springer, 1973. | MR

[4] M. Artin - Grothendieck topologies, Harvard University, 1962, lecture notes. | Zbl

[5] -, « Algebraic approximation of structures over complete local rings », Publ. Math. I.H.É.S. 36 (1969), p. 23-58. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[6] -, « On the joins of Hensel rings », Advances in Math. 7 (1971), p. 282-296. | MR | Zbl

[7] -, Théorèmes de représentabilité pour les espaces algébriques, Les Presses de l'université de Montréal, 1973. | Zbl

[8] N. Bourbaki - Éléments de mathématique. Fasc. XXX. Algèbre commutative. Chapitre 5: Entiers. Chapitre 6: Valuations, Actualités Scientifiques et Industrielles, No. 1308, Hermann, 1964. | MR | Zbl

[9] H. Brenner - « Grothendieck topologies and ideal closure operations », preprint arXiv:math/0612471.

[10] B. Conrad - « Deligne's notes on Nagata compactifications », J. Ramanujan Math. Soc. 22 (2007), p. 205-257. | MR | Zbl

[11] D. E. Dobbs, M. Fontana & G. Picavet - « Generalized going-down homomorphisms of commutative rings », in Commutative ring theory and applications (Fez, 2001), Lecture Notes in Pure and Appl. Math., vol. 231, Dekker, 2003, p. 143-163. | MR | Zbl

[12] D. Ferrand - « Conducteur, descente et pincement », Bull. Soc. Math. France 131 (2003), p. 553-585. | Numdam | MR | Zbl

[13] J. Giraud - « Méthode de la descente », Bull. Soc. Math. France Mém. 2 (1964). | Numdam | MR | Zbl

[14] S. Greco & C. Traverso - « On seminormal schemes », Compositio Math. 40 (1980), p. 325-365. | Numdam | MR | Zbl

[15] A. Grothendieck - « Éléments de géométrie algébrique. II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes », Publ. Math. I.H.É.S. 8 (1961). | Numdam | Zbl

[16] -, « Éléments de géométrie algébrique. III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents », Publ. Math. I.H.É.S. 11, 17 (1961, 1963). | Numdam | Zbl

[17] -, « Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas », Publ. Math. I.H.É.S. 20, 24, 28, 32 (1964-67). | Numdam | Zbl

[18] -, Éléments de géométrie algébrique. I. Le langage des schémas, second éd., Grundl. Math. Wiss., vol. 166, Springer, 1971.

[19] -(éd.) - Revêtements étales et groupe fondamental, Lecture Notes in Math., vol. 224, Springer, 1971.

[20] M. Hochster - « Prime ideal structure in commutative rings », Trans. Amer. Math. Soc. 142 (1969), p. 43-60. | MR | Zbl

[21] -, « Totally integrally closed rings and extremal spaces », Pacific J. Math. 32 (1970), p. 767-779. | MR | Zbl

[22] B. G. Kang & D. Y. Oh - « Lifting up an infinite chain of prime ideals to a valuation ring », Proc. Amer. Math. Soc. 126 (1998), p. 645-646. | MR | Zbl

[23] D. Knutson - Algebraic spaces, Lecture Notes in Math., vol. 203, 1971. | MR | Zbl

[24] J. Kollár - Rational curves on algebraic varieties, Ergebn. der Math. und ihrer Grenzg., vol. 32, Springer, 1996. | MR | Zbl

[25] -, « Quotient spaces modulo algebraic groups », Ann. of Math. 145 (1997), p. 33-79. | MR | Zbl

[26] G. Laumon & L. Moret-Bailly - Champs algébriques, Ergebn. der Math. und ihrer Grenzg., vol. 39, Springer, 2000. | MR | Zbl

[27] D. Lazard - « Autour de la platitude », Bull. Soc. Math. France 97 (1969), p. 81-128. | Numdam | MR | Zbl

[28] M. Manaresi - « Some properties of weakly normal varieties », Nagoya Math. J. 77 (1980), p. 61-74. | MR | Zbl

[29] J. S. Milne - Étale cohomology, Princeton Mathematical Series, vol. 33, Princeton Univ. Press, 1980. | MR | Zbl

[30] J.-P. Olivier - « Anneaux absolument plats universels et épimorphismes à buts réduit », in Séminaire d'Algèbre Commutative 1967-1968, Secrétariat mathématique, 1968, exposé no 6. | Numdam | Zbl

[31] -, « Le foncteur T - . Globalisation du foncteur T », in Séminaire d'Algèbre Commutative 1967-1968, Secrétariat mathématique, 1968, exposé no 9.

[32] G. Picavet - « Submersion et descente », J. Algebra 103 (1986), p. 527-591. | MR | Zbl

[33] M. Raynaud - Anneaux locaux henséliens, Lecture Notes in Math., vol. 169, Springer, 1970. | MR | Zbl

[34] M. Raynaud & L. Gruson - « Critères de platitude et de projectivité. Techniques de “platification” d'un module », Invent. Math. 13 (1971), p. 1-89. | MR | Zbl

[35] D. Rydh - « Existence of quotients by finite groups and coarse moduli spaces », preprint arXiv:0708.3333.

[36] M. Spivakovsky - « A new proof of D. Popescu's theorem on smoothing of ring homomorphisms », J. Amer. Math. Soc. 12 (1999), p. 381-444. | MR | Zbl

[37] A. Suslin & V. Voevodsky - « Singular homology of abstract algebraic varieties », Invent. Math. 123 (1996), p. 61-94. | MR | Zbl

[38] -, « Relative cycles and Chow sheaves », in Cycles, transfers, and motivic homology theories, Ann. of Math. Stud., vol. 143, Princeton Univ. Press, 2000, p. 10-86. | MR | Zbl

[39] R. G. Swan - « On seminormality », J. Algebra 67 (1980), p. 210-229. | MR | Zbl

[40] -, « Néron-Popescu desingularization », in Algebra and geometry (Taipei, 1995), Lect. Algebra Geom., vol. 2, Int. Press, Cambridge, MA, 1998, p. 135-192.

[41] R. W. Thomason & T. Trobaugh - « Higher algebraic K-theory of schemes and of derived categories », in The Grothendieck Festschrift, Vol. III, Progr. Math., vol. 88, Birkhäuser, 1990, p. 247-435. | MR | Zbl

[42] C. Traverso - « Seminormality and Picard group », Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 24 (1970), p. 585-595. | Numdam | MR | Zbl

[43] V. Voevodsky - « Homology of schemes », Selecta Math. (N.S.) 2 (1996), p. 111-153. | MR | Zbl

[44] V. Voevodsky, A. Suslin & E. M. Friedlander - Cycles, transfers, and motivic homology theories, Annals of Math. Studies, vol. 143, Princeton Univ. Press, 2000. | MR | Zbl

[45] H. Yanagihara - « Some results on weakly normal ring extensions », J. Math. Soc. Japan 35 (1983), p. 649-661. | MR | Zbl

[46] -, « On an intrinsic definition of weakly normal rings », Kobe J. Math. 2 (1985), p. 89-98. | MR | Zbl

Cited by Sources: