Generalized directional Lelong number of a positive plurisubharmonic current

Toujani, Moncef

doi:10.1016/j.crma.2019.07.009

Complex analysis

Generalized directional Lelong number of a positive plurisubharmonic current
[Nombre de Lelong directionnel généralisé d'un courant positif pluri-sous-harmonique]

Présenté par : the Editorial Board

Toujani, Moncef ^1,²

¹ Umm Al-Qura University, Saudi Arabia
² Higher Institute of Applied Science and Technology, Mateur, Tunisia

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 357 (2019) no. 10, pp. 773-777.

Résumé
Abstract

Soit T un courant positif pluri-sous-harmonique $(p s h)$ de bidegré $(k, k)$ dans un voisinage Ω de 0 dans $C^{N} = C^{n} \times C^{m}$ ( $n = N - m ⩾ k$ ), et B un borélien de $L : = {0} \times C^{m}$ tel que $B ⋐ Ω$ . Étant donné $(z, t)$ dans $C^{n} \times C^{m}$ , on définit une fonction de classe $C^{2}$ positive psh et semi-exhaustive sur Ω, $(z, t) \mapsto φ (z)$ , telle que $\log φ$ soit aussi psh sur l'ouvert ${φ > 0}$ , et on considère une fonction $(z, t) \mapsto v (t)$ psh continue et semi-exhaustive sur Ω. Dans cette note, on prouve que T admet un nombre de Lelong directionnel généralisé relativement à φ et v le long de L ; de plus, on prouve un théorème sur l'existence d'une fonction f psh positive sur L telle que le nombre de Lelong de T soit donné par f. Ce théorème généralise des résultats étudiés par Alessandrini–Bassanelli et Toujani.

Let T be a positive plurisubharmonic (psh for short) current of bidegree $(k, k)$ on a neighborhood Ω of 0 in $C^{N} = C^{n} \times C^{m}$ ( $n = N - m ⩾ k$ ), B be a Borel subset of $L : = {0} \times C^{m}$ such that $B ⋐ Ω$ . Taking $(z, t) \in C^{n} \times C^{m}$ , we define a $C^{2}$ positive semi-exhaustive psh function on Ω, $(z, t) \mapsto φ (z)$ , such that $\log φ$ is also psh on the open set ${φ > 0}$ and consider $(z, t) \mapsto v (t)$ a continuous semi-exhaustive psh function on Ω. This paper aims to prove that T admits a generalized directional Lelong number along L with respect to the functions φ and v. Moreover, we give a theorem on the existence of a positive psh function f on L, such that the Lelong number of T is given by f. This theorem generalizes results studied by Alessandrini–Bassanelli and Toujani.

Reçu le : 2019-05-05
Accepté le : 2019-08-01
Publié le : 2019-09-30

DOI : 10.1016/j.crma.2019.07.009

Affiliations des auteurs :

Toujani, Moncef ^{1, 2}

¹ Umm Al-Qura University, Saudi Arabia
² Higher Institute of Applied Science and Technology, Mateur, Tunisia

@article{CRMATH_2019__357_10_773_0,
     author = {Toujani, Moncef},
     title = {Generalized directional {Lelong} number of a positive plurisubharmonic current},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {773--777},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {357},
     number = {10},
     year = {2019},
     doi = {10.1016/j.crma.2019.07.009},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2019.07.009/}
}

TY  - JOUR
AU  - Toujani, Moncef
TI  - Generalized directional Lelong number of a positive plurisubharmonic current
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2019
SP  - 773
EP  - 777
VL  - 357
IS  - 10
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2019.07.009/
DO  - 10.1016/j.crma.2019.07.009
LA  - en
ID  - CRMATH_2019__357_10_773_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Toujani, Moncef
%T Generalized directional Lelong number of a positive plurisubharmonic current
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2019
%P 773-777
%V 357
%N 10
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2019.07.009/
%R 10.1016/j.crma.2019.07.009
%G en
%F CRMATH_2019__357_10_773_0

Toujani, Moncef. Generalized directional Lelong number of a positive plurisubharmonic current. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 357 (2019) no. 10, pp. 773-777. doi : 10.1016/j.crma.2019.07.009. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2019.07.009/

Bibliographie
Cité par

[1] Alessandrini, L.; Bassanelli, G. Lelong number of positive plurisubharmonic currents, Results Math., Volume 30 (1996), pp. 191-224

[2] Bassanelli, G. Cut off theorem of plurisubharmonic currents, Forum Math., Volume 6 (1994), pp. 576-595

[3] Demailly, J.-P. Sur les nombres de Lelong associés à l'image directe d'un courant positif fermé, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 32 (1982) no. 2, pp. 37-66

[4] Demailly, J.-P. Formules de Jensen en plusieurs variables et applications arithmétiques, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 110 (1982), pp. 75-102

[5] Demailly, J.-P. Monge–Ampère operator, Lelong numbers and intersection theory (Ancona, V.; Silva, A., eds.), Complex Analysis Geometry, Springer US, 1993

[6] Skoda, H. Prolongement des courants positifs fermés de masse finie, Invent. Math., Volume 66 (1982), pp. 361-376

[7] Toujani, M. Directional Lelong numbers of positive plurisubharmonic currents, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 343 (2006), pp. 705-710

[8] Toujani, M. Estimates for Monge–Ampère operators acting on positive plurisubharmonic currents, Arab J. Math. Sci., Volume 19 (2013) no. 1, pp. 11-20

Cité par Sources :