Courants résidus et opérateurs de Monge–Ampère

Méo, Michel

doi:10.1016/j.crma.2019.01.011

Analyse complexe/Géométrie analytique

Courants résidus et opérateurs de Monge–Ampère

Présenté par : Jean-Pierre Demailly

Méo, Michel ¹

¹ Institut Élie Cartan de Lorraine, Université de Lorraine, boulevard des Aiguillettes, BP 70239, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 357 (2019) no. 2, pp. 130-142.

Résumé
Abstract

On étend au cas où le support est un sous-ensemble analytique éventuellement singulier le théorème de Federer de structure du courant résidu. Par ailleurs, on détermine la loi générale de transformation de la distribution $γ_{f}$ associée à une application holomorphe $f = (f_{1}, \dots, f_{N})$ . On arrive ainsi à l'interprétation cohomologique de la classe fondamentale associée à un cycle analytique effectif, qui n'est pas nécessairement localement intersection complète. Par cette même loi, on obtient une caractérisation des sous-ensembles algébriques de dimension pure de $C^{n}$ , qui sont des intersections complètes. On caractérise aussi les intersections complètes de codimension q dans $P_{n}$ en termes des solutions de l'équation de Monge–Ampère singulière dans $P_{q}$ . Enfin, on exprime la condition sur la dimension des pôles de la fonction plurisousharmonique u impliquant que l'opérateur de Monge–Ampère $Q \land d^{c} u$ est d'ordre 0, pour tout courant positif fermé Q de bidimension $(k, k)$ .

We extend to the case when the support is a possibly singular analytic subvariety the Federer theorem on the structure of the residue current. On another hand, we determine the general law of transformation of the distribution $γ_{f}$ associated with a holomorphic map $f = (f_{1}, \dots, f_{N})$ . In such a way, we arrive at the cohomological interpretation of the fundamental class of an effective analytic cycle, which is not necessarily a local complete intersection. By this same law, we obtain a characterization of the pure dimensional algebraic subsets of $C^{n}$ , which are complete intersections. We also characterize the complete intersections of codimension q in $P_{n}$ in terms of the solutions of the singular Monge–Ampère equation in $P_{q}$ . Lastly, we express the condition on the dimension of the poles of the plurisubharmonic function u, so that the Monge–Ampère operator $Q \land d^{c} u$ has measure coefficients, for all closed positive current Q of bidimension $(k, k)$ .

Reçu le : 2018-06-15
Accepté le : 2019-02-04
Publié le : 2019-02-01

DOI : 10.1016/j.crma.2019.01.011

Affiliations des auteurs :

Méo, Michel ¹

¹ Institut Élie Cartan de Lorraine, Université de Lorraine, boulevard des Aiguillettes, BP 70239, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy, France

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Méo, Michel. Courants résidus et opérateurs de Monge–Ampère. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 357 (2019) no. 2, pp. 130-142. doi : 10.1016/j.crma.2019.01.011. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2019.01.011/

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