Les obstructions, pour une forme différentielle fermée de bidimension sur une variété projective, à être cohomologue à un cycle algébrique à coefficients complexes, sont explicitées au moyen de la transformation de Chow. Elles s'expriment par l'orthogonalité, sur la variété elle-même, à des familles paramétrées par la grassmannienne de courants complètement déterminés. Chacun de ces courants est -fermé et à support dans l'intersection de la variété avec le sous-espace projectif associé au paramètre. Par la théorie des formes harmoniques, une période est donc associée à cette forme différentielle pour chaque paramètre. On étudie l'ensemble des périodes, obtenu en faisant varier le paramètre, et on conclut à une continuité sur la grassmannienne, quand la classe de cohomologie est rationnelle. La même propriété peut être obtenue en se plaçant dans l'espace des diviseurs de la grassmannienne et en utilisant une caractérisation des formes de Chow. On raisonne ici directement, en calculant les périodes avec le théorème de Atiyah–Hirzebruch. Cette continuité globale entraîne alors l'orthogonalité pour tout paramètre.
The obstructions, for a closed smooth differential form of bidimension on a projective manifold, to be cohomologous to an algebraic cycle with complex coefficients, are calculated in terms of the Chow transformation. They can be expressed as an orthogonality condition, on the manifold itself, with families parametrized by the Grassmannian of currents that are completely determined. Each of these currents is -closed and with support in the intersection of the manifold and of the projective subspace associated with the parameter. By the theory of harmonic forms, a period is thus associated with that differential form for each parameter. We study the set of periods, obtained when the parameter varies, and we arrive at a continuity on the Grassmannian, when the cohomology class is rational. The same property can be obtained by going to the space of divisors of the Grassmannian and by using a characterization of Chow forms. We proceed here directly, by calculating the periods by means of the Atiyah–Hirzebruch theorem. This global continuity implies the orthogonality for all parameter.
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Méo, Michel. Une propriété de continuité associée aux classes de cohomologie de Hodge. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 356 (2018) no. 7, pp. 737-746. doi : 10.1016/j.crma.2018.05.008. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2018.05.008/
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