Convergence of adaptive biasing potential methods for diffusions

Benaïm, Michel; Bréhier, Charles-Édouard

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 8, pp. 842-846.

Nous prouvons la consistance d'une méthode adaptative d'échantillonnage préférentiel, basée sur le biaisage du potentiel d'un processus de diffusion dXt0=−∇V(Xt0)dt+dWt ; pour simplifier, des conditions au bord périodiques sont appliquées, si bien que Xt0 est à valeurs dans le tore plat d-dimensionnel. L'objectif est d'échantillonner sa mesure invariante μ=Z−1exp⁡(−V(x))dx. Le biais Vt−V, où Vt est le nouveau potentiel (aléatoire et dépendant du temps), n'agit que sur certaines coordonnées du système, et est construit de façon à rendre la mesure d'occupation empirique correspondante uniforme en temps long. Le processus de diffusion s'écrit dXt=−∇Vt(Xt)dt+dWt, où le biais Vt−V est fonction de la quantité μ‾t : une mesure d'occupation qui dépend du passé du processus, i.e. de (Xs)s∈[0,t]. Nous étudions ainsi un processus de diffusion en auto-interaction. Dans cette note, nous prouvons la convergence presque sûre de μ‾t vers μ quand t tend vers l'infini. De plus, l'approche est justifiée par la convergence du biais, vers une limite qui s'interprète en termes d'énergie libre. L'argument principal de la preuve est un changement de variables, qui formellement valide la consistance de l'approche. La convergence est alors prouvée rigoureusement en adaptant la méthode de l'EDO venant de l'approximation stochastique.

We prove the consistency of an adaptive importance sampling strategy based on biasing the potential energy function V of a diffusion process dXt0=−∇V(Xt0)dt+dWt; for the sake of simplicity, periodic boundary conditions are assumed, so that Xt0 lives on the flat d-dimensional torus. The goal is to sample its invariant distribution μ=Z−1exp⁡(−V(x))dx. The bias Vt−V, where Vt is the new (random and time-dependent) potential function, acts only on some coordinates of the system, and is designed to flatten the corresponding empirical occupation measure of the diffusion X in the large-time regime. The diffusion process writes dXt=−∇Vt(Xt)dt+dWt, where the bias Vt−V is function of the key quantity μ‾t: a probability occupation measure which depends on the past of the process, i.e. on (Xs)s∈[0,t]. We are thus dealing with a self-interacting diffusion. In this note, we prove that when t goes to infinity, μ‾t almost surely converges to μ. Moreover, the approach is justified by the convergence of the bias to a limit that has an interpretation in terms of a free energy. The main argument is a change of variables, which formally validates the consistency of the approach. The convergence is then rigorously proven adapting the ODE method from stochastic approximation.

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