On two problems of Ljujić and Nathanson

Dai, Li-Xia; Chen, Yong-Gao

doi:10.1016/j.crma.2016.01.007

Number theory

On two problems of Ljujić and Nathanson
[Sur deux problèmes de Ljujić et Nathanson]

Présenté par : the Editorial Board

Dai, Li-Xia ¹ ; Chen, Yong-Gao ¹

¹ School of Mathematical Sciences and Institute of Mathematics, Nanjing Normal University, Nanjing 210023, PR China

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 3, pp. 235-238.

Résumé
Abstract

Soit N l'ensemble des entiers positifs ou nul. Pour $A, M \subset N ∖ {0}$ et $n \in N$ , notons $p (n, A, M)$ le nombre de représentations de n sous la forme $n = \sum_{a \in A} m_{a} a$ , avec $m_{a} \in M \cup {0}$ pour tout $a \in A$ . Récemment, utilisant une méthode probabiliste, Alon a répondu positivement à deux questions de Ljujić et Nathanson. Il a montré que, pour $A = {n!}_{n \geq 1}$ ou $A = {n^{n}}_{n \geq 1}$ , il existe $n_{0}$ et un ensemble infini M d'entiers positifs tel que $0 < p (n, A, M) < n^{8 + o (1)}$ pour tout $n > n_{0}$ . Dans cette Note, par une construction explicite et comme corollaire de notre résultat principal, nous montrons que, pour $A = {n!}_{n \geq 1}$ ou $A = {n^{n}}_{n \geq 1}$ , il existe un ensemble infini explicite M d'entiers positifs tel que $0 < p (n, A, M) < n^{2 + o (1)}$ pour tout $n \geq 1$ . Plusieurs questions ouvertes sont proposées pour de futures recherches.

Let N be the set of all nonnegative integers. For $A, M \subseteq N ∖ {0}$ and $n \in N$ , let $p (n, A, M)$ denote the number of representations of n in the form $n = \sum_{a \in A} m_{a} a$ , where $m_{a} \in M \cup {0}$ for all $a \in A$ . Recently, by using the probabilistic method, Alon answered two questions of Ljujić and Nathanson affirmatively by proving that, for $A = {n!}_{n \geq 1}$ or for $A = {n^{n}}_{n \geq 1}$ , there exists $n_{0}$ and an infinite set M of positive integers so that $0 < p (n, A, M) < n^{8 + o (1)}$ for all $n > n_{0}$ . In this note, by an explicit construction, as a corollary of our main result, it is proved that, for $A = {n!}_{n \geq 1}$ or for $A = {n^{n}}_{n \geq 1}$ , there exists an explicit infinite set M of positive integers so that $0 < p (n, A, M) \leq n^{2 + o (1)}$ for all $n \geq 1$ . Several open questions are posed for further research.

Reçu le : 2015-05-06
Accepté le : 2016-01-07
Publié le : 2016-02-09

DOI : 10.1016/j.crma.2016.01.007

Affiliations des auteurs :

Dai, Li-Xia ¹ ; Chen, Yong-Gao ¹

¹ School of Mathematical Sciences and Institute of Mathematics, Nanjing Normal University, Nanjing 210023, PR China

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Dai, Li-Xia; Chen, Yong-Gao. On two problems of Ljujić and Nathanson. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 3, pp. 235-238. doi : 10.1016/j.crma.2016.01.007. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2016.01.007/

Bibliographie
Cité par

[1] Alon, N. Restricted integer partition functions, Integers, Volume 13 (2013), p. A16

[2] Canfield, E.R.; Wilf, H.S. On the growth of restricted integer partition functions, Dev. Math., Volume 23 (2012), pp. 39-46

[3] Ljujić, Z.; Nathanson, M. On a partition problem of Canfield and Wilf, Integers, Volume 12A (2012), p. A11

Cité par Sources :

^☆ This work was supported by the National Natural Science Foundation of China, Grant Nos. 11371195, 11271185, 11571174 and PAPD.