Do Minkowski averages get progressively more convex?

Fradelizi, Matthieu; Madiman, Mokshay; Marsiglietti, Arnaud; Zvavitch, Artem

doi:10.1016/j.crma.2015.12.005

Functional analysis/Geometry

Do Minkowski averages get progressively more convex?
[Les moyennes de Minkowski deviennent-elles progressivement plus convexes ?]

Présenté par : Gilles Pisier

Fradelizi, Matthieu ¹ ; Madiman, Mokshay ² ; Marsiglietti, Arnaud ³ ; Zvavitch, Artem ⁴

¹ Laboratoire d'analyse et de mathématiques appliquées, UMR 8050, Université Paris-Est Marne-la-Vallée, 5, bd Descartes, Champs-sur-Marne, 77454 Marne-la-Vallée cedex 2, France
² University of Delaware, Department of Mathematical Sciences, 501 Ewing Hall, Newark, DE 19716, USA
³ Institute for Mathematics and its Applications, University of Minnesota, 207 Church Street SE, 434 Lind Hall, Minneapolis, MN 55455, USA
⁴ Department of Mathematical Sciences, Kent State University, Kent, OH 44242, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 2, pp. 185-189.

Résumé
Abstract

Pour tout ensemble compact $A \subset R^{n}$ , définissons ses moyennes de Minkowski par

A (k) = {\frac{a_{1} + \dots + a_{k}}{k} : a_{1}, \dots, a_{k} \in A} = \frac{1}{k} (\underset{k fois}{\underset{︸}{A + \dots + A}}) .

Nous étudions la monotonie de la convergence de

A (k)

vers l'enveloppe convexe de A, mesurée par la distance de Hausdorff, le déficit volumique et par l'indice de non-convexité de Schneider. Pour le déficit volumique, nous démontrons que la propriété de monotonie n'est pas satisfaite en général, réfutant ainsi une conjecture de Bobkov, Madiman et Wang. Pour l'index de non-convexité de Schneider, nous montrons une propriété renforcée de monotonie, tandis que, pour la distance de Hausdorff, nous établissons que la suite est décroissante à partir d'un certain rang.

Let us define, for a compact set $A \subset R^{n}$ , the Minkowski averages of A:

A (k) = {\frac{a_{1} + \dots + a_{k}}{k} : a_{1}, \dots, a_{k} \in A} = \frac{1}{k} (\underset{k times}{\underset{︸}{A + \dots + A}}) .

We study the monotonicity of the convergence of

A (k)

towards the convex hull of A, when considering the Hausdorff distance, the volume deficit and a non-convexity index of Schneider as measures of convergence. For the volume deficit, we show that monotonicity fails in general, thus disproving a conjecture of Bobkov, Madiman and Wang. For Schneider's non-convexity index, we prove that a strong form of monotonicity holds, and for the Hausdorff distance, we establish that the sequence is eventually nonincreasing.

Reçu le : 2015-11-06
Accepté le : 2015-12-11
Publié le : 2016-01-27

DOI : 10.1016/j.crma.2015.12.005

Affiliations des auteurs :

Fradelizi, Matthieu ¹ ; Madiman, Mokshay ² ; Marsiglietti, Arnaud ³ ; Zvavitch, Artem ⁴

@article{CRMATH_2016__354_2_185_0,
     author = {Fradelizi, Matthieu and Madiman, Mokshay and Marsiglietti, Arnaud and Zvavitch, Artem},
     title = {Do {Minkowski} averages get progressively more convex?},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {185--189},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {354},
     number = {2},
     year = {2016},
     doi = {10.1016/j.crma.2015.12.005},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.12.005/}
}

TY  - JOUR
AU  - Fradelizi, Matthieu
AU  - Madiman, Mokshay
AU  - Marsiglietti, Arnaud
AU  - Zvavitch, Artem
TI  - Do Minkowski averages get progressively more convex?
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2016
SP  - 185
EP  - 189
VL  - 354
IS  - 2
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.12.005/
DO  - 10.1016/j.crma.2015.12.005
LA  - en
ID  - CRMATH_2016__354_2_185_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Fradelizi, Matthieu
%A Madiman, Mokshay
%A Marsiglietti, Arnaud
%A Zvavitch, Artem
%T Do Minkowski averages get progressively more convex?
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2016
%P 185-189
%V 354
%N 2
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.12.005/
%R 10.1016/j.crma.2015.12.005
%G en
%F CRMATH_2016__354_2_185_0

Fradelizi, Matthieu; Madiman, Mokshay; Marsiglietti, Arnaud; Zvavitch, Artem. Do Minkowski averages get progressively more convex?. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 2, pp. 185-189. doi : 10.1016/j.crma.2015.12.005. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.12.005/

Bibliographie
Cité par

[1] Bobkov, S.G.; Madiman, M.; Wang, L. Fractional generalizations of Young and Brunn–Minkowski inequalities (Houdré, C.; Ledoux, M.; Milman, E.; Milman, M., eds.), Concentration, Functional Inequalities and Isoperimetry, Contemp. Math., vol. 545, Amer. Math. Soc., 2011, pp. 35-53

[2] Emerson, W.R.; Greenleaf, F.P. Asymptotic behavior of products $C^{p} = C + \dots + C$ in locally compact abelian groups, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 145 (1969), pp. 171-204

[3] M. Fradelizi, M. Madiman, A. Marsiglietti, A. Zvavitch, On the monotonicity of Minkowski sums towards convexity, Preprint.

[4] Gyarmati, K.; Matolcsi, M.; Ruzsa, I.Z. A superadditivity and submultiplicativity property for cardinalities of sumsets, Combinatorica, Volume 30 (2010) no. 2, pp. 163-174

[5] Madiman, M.; Tetali, P. Information inequalities for joint distributions, with interpretations and applications, IEEE Trans. Inf. Theory, Volume 56 (2010) no. 6, pp. 2699-2713

[6] Schneider, R. A measure of convexity for compact sets, Pac. J. Math., Volume 58 (1975) no. 2, pp. 617-625

[7] Starr, R.M. Quasi-equilibria in markets with non-convex preferences, Econometrica, Volume 37 (1969) no. 1, pp. 25-38

Cité par Sources :