Dans ce travail, on généralise l'homologie de Khovanov à tout entrelacs non orienté et à coefficients dans l'algèbre de Frobenius universelle de rang 2, puis on construit pour chaque mouvement de Reidemeister une équivalence d'homotopie graduée, en donnant les formules explicites de ces équivalences ainsi que celles de leurs inverses homotopiques. Ensuite, on montre que le complexe de Khovanov généralisé de l'image miroir d'un diagramme d'entrelacs D est isomorphe au dual du complexe de Khovanov de D. Enfin, on généralise le théorème de Rasmussen sur l'homologie de Lee–Khovanov.
We generalize Khovanov's homology to unoriented links and with coefficients in the 2-dimensional universal Frobenius algebra. Then, we construct, for each Reidemeister move, a graduated homotopy equivalence and give the explicit formulae of these equivalences and their homotopy inverses. Further, we prove that the generalized Khovanov complex of a link diagram D mirror image is isomorphic to the dual of the Khovanov complex of D. Finally, we generalize the Rasmussen theorem on the Lee–Khovanov homology.
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Aouani, Zouhaier; Saihi, Inès. Une généralisation de l'homologie de Khovanov. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 12, pp. 1135-1140. doi : 10.1016/j.crma.2015.09.026. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.09.026/
[1] A categorification of the Jones polynomial, Duke Math. J., Volume 101 (2000) no. 3, pp. 359-426
[2] Link homology and Frobenius extensions, Fundam. Math., Volume 190 (2006), pp. 179-190
[3] Khovanov homology and the slice genus, Invent. Math., Volume 182 (2010) no. 2, pp. 419-447
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