no. 11
Number theory
Complex Pisot numbers in algebraic number fields
[Nombres de Pisot complexes dans des corps de nombres algébriques]

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Bertin, Marie José1, 2 ; Zaïmi, Toufik1, 2
1 Université Pierre et Marie Curie, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France
2 Department of Mathematics and Statistics, College of Science, Al-Imam Mohammed Ibn Saud Islamic University, Riyadh 11623 Saudi Arabia
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 11, pp. 965-967.

Soient K un corps réel de nombres algébriques et P(K) l'ensemble des nombres de Pisot engendrant K sur le corps des rationnels Q. Un résultat, dû à Meyer, montre que P(K) est relativement dense dans l'intervalle [1,∞), et un théorème de Pisot établit que l'ensemble P(K) contient des unités lorsque K≠Q. On considère, dans cette note, un corps non réel K′ de nombres algébriques, et l'on obtient des résultats similaires aux précédents pour l'ensemble des nombres de Pisot complexes engendrant K′ sur Q lorsque K′ n'est, ni un corps quadratique, ni un corps CM.

Let P(K) be the set of Pisot numbers generating a real algebraic number field K over the field of rationals Q. Then, a result of Meyer implies that P(K) is relatively dense in the interval [1,∞) and a theorem of Pisot gives that P(K) contains units, whenever K≠Q. In the present note, we prove analogous results for the set of complex Pisot numbers generating a non-real number field K′ over Q when K′ is neither a quadratic field nor a CM-field.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/j.crma.2015.09.007
Bertin, Marie José 1, 2 ; Zaïmi, Toufik 1, 2

1 Université Pierre et Marie Curie, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France
2 Department of Mathematics and Statistics, College of Science, Al-Imam Mohammed Ibn Saud Islamic University, Riyadh 11623 Saudi Arabia 
@article{CRMATH_2015__353_11_965_0,
     author = {Bertin, Marie Jos\'e and Za{\"\i}mi, Toufik},
     title = {Complex {Pisot} numbers in algebraic number fields},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {965--967},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {353},
     number = {11},
     year = {2015},
     doi = {10.1016/j.crma.2015.09.007},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.09.007/}
}
TY  - JOUR
AU  - Bertin, Marie José
AU  - Zaïmi, Toufik
TI  - Complex Pisot numbers in algebraic number fields
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2015
SP  - 965
EP  - 967
VL  - 353
IS  - 11
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.09.007/
DO  - 10.1016/j.crma.2015.09.007
LA  - en
ID  - CRMATH_2015__353_11_965_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Bertin, Marie José
%A Zaïmi, Toufik
%T Complex Pisot numbers in algebraic number fields
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2015
%P 965-967
%V 353
%N 11
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.09.007/
%R 10.1016/j.crma.2015.09.007
%G en
%F CRMATH_2015__353_11_965_0
Bertin, Marie José; Zaïmi, Toufik. Complex Pisot numbers in algebraic number fields. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 11, pp. 965-967. doi : 10.1016/j.crma.2015.09.007. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.09.007/

[1] C. Batut, D. Bernardi, H. Cohen, M. Olivier, User's guide to PARI-GP, version 2.5.1, 2012.

[2] Bertin, M.J.; Decomps-Guilloux, A.; Grandet-Hugot, M.; Pathiaux-Delefosse, M.; Schreiber, J.-P. Pisot and Salem Numbers, Birkhäuser Verlag, Basel, 1992

[3] M.J. Bertin, T. Zaïmi, A. Al-Jouiee, On number fields without unit primitive element, submitted for publication.

[4] Bugeaud, Y. Distribution Modulo One and Diophantine Approximation, Cambridge University Press, 2012

[5] Chamfy, C. Valeur minima du module pour un ensemble fermé d'indices algébriques, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 244 (1957), pp. 1992-1994

[6] Fan, A.H.; Schmeling, J. ε-Pisot numbers in any real algebraic number field are relatively dense, J. Algebra, Volume 272 (2004), pp. 470-475

[7] Garth, D. Complex Pisot numbers of small modulus, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 336 (2003), pp. 967-970

[8] Hejda, T.; Pelantová, E. Spectral properties of cubic complex Pisot units | arXiv

[9] Kelly, J.B. A closed set of algebraic integers, Amer. J. Math., Volume 72 (1950), pp. 565-572

[10] Lagarias, J.C. Meyer's concept of quasicrystal and quasiregular sets, Commun. Math. Phys., Volume 179 (1996), pp. 365-376

[11] Meyer, Y. Nombres de Pisot, Nombres de Salem et Analyse Harmonique, Lecture Notes in Mathematics, vol. 117, Springer-Verlag, 1970

[12] Moody, R.V. Meyer sets and their duals, Waterloo, ON, 1995 (NATO Adv. Stud. Inst. Ser., Ser. C, Math. Phys. Sci.), Volume vol. 489, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands (1997), pp. 403-441

[13] C. Pisot, Quelques aspects de la théorie des entiers algébriques, Séminaire de mathématiques supérieures, Université de Montréal, Canada, 1963.

[14] Zaïmi, T. Sur les K-nombres de Pisot de petite mesure, Acta Arith., Volume 77 (1996), pp. 103-131

[15] Zaïmi, T. Sur la fermeture de l'ensemble des K-nombres de Pisot, Acta Arith., Volume 88 (1998), pp. 363-367

[16] Zaïmi, T. On ε− Pisot numbers, N.Y. J. Math., Volume 15 (2009), pp. 415-422

[17] Zaïmi, T. Commentaires sur quelques résultats sur les nombres de Pisot, J. Théor. Nr. Bordx., Volume 22 (2010), pp. 513-524

Cité par Sources :