Une notion de multizêtas finis associée au Frobenius du groupe fondamental de $ {\mathbb{P}}^{1}\backslash \{0,1,\infty \}$

Jarossay, David

doi:10.1016/j.crma.2015.07.008

Théorie des nombres

Une notion de multizêtas finis associée au Frobenius du groupe fondamental de

P^{1} \ {0, 1, \infty}

Présenté par : le comité de rédaction

Jarossay, David ¹

¹ Institut de mathématiques de Jussieu Paris Rive-Gauche, Université Paris-Diderot, 75005 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 10, pp. 877-882.

Résumé
Abstract

Nous montrons que les sommes harmoniques multiples de la forme

\sum_{a p^{k} < n_{1} < \dots < n_{d} < (a + 1) p^{k}} \frac{1}{n_{1}^{s_{1}} \dots n_{d}^{s_{d}}}, pour a \in Z, k \in N^{⁎}, s_{d}, \dots, s_{1} \in N^{⁎},

admettent un développement canonique simple en termes de multizêtas p-adiques. Plus généralement, nous interprétons géométriquement la multiplication par p de la borne supérieure d'une somme harmonique multiple. Cela équivaut à l'inversion des sommes de séries qui expriment les multizêtas p-adiques. Le résultat entraîne la définition d'une notion de multizêtas finis qui est d'origine géométrique ; il donne un cadre pour étudier les propriétés algébriques des sommes harmoniques multiples dont la borne supérieure est une puissance d'un nombre premier. Le résultat a aussi des applications à une conjecture de Kaneko et Zagier.

We show that multiple harmonic sums of the form

\sum_{a p^{k} < n_{1} < \dots < n_{d} < (a + 1) p^{k}} \frac{1}{n_{1}^{s_{1}} \dots n_{d}^{s_{d}}}, for a \in Z, k \in N^{⁎}, s_{d}, \dots, s_{1} \in N^{⁎},

admit a simple canonical expansion in terms of p-adic multiple zeta values. More generally, we interpret geometrically the multiplication by p of the upper bound of a multiple harmonic sum. This is equivalent to the inversion of the sums of series that express p-adic multiple zeta values. The result leads to the definition of a notion of finite multiple zeta values that is of geometric origin; it gives a framework to study the algebraic properties of those multiple harmonic sums whose upper bound is a power of a prime number. The result also has applications to a conjecture of Kaneko and Zagier.

Reçu le : 2015-07-16
Accepté le : 2015-07-23
Publié le : 2015-08-24

DOI : 10.1016/j.crma.2015.07.008

Affiliations des auteurs :

Jarossay, David ¹

¹ Institut de mathématiques de Jussieu Paris Rive-Gauche, Université Paris-Diderot, 75005 Paris, France

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Jarossay, David. Une notion de multizêtas finis associée au Frobenius du groupe fondamental de $ {\mathbb{P}}^{1}\backslash \{0,1,\infty \}$. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 10, pp. 877-882. doi : 10.1016/j.crma.2015.07.008. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.07.008/

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