Théorie des nombres
Une notion de multizêtas finis associée au Frobenius du groupe fondamental de P1\{0,1,}
[A notion of finite multiple zeta values associated with the Frobenius of the fundamental group of P1\{0,1,}]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 10, pp. 877-882.

We show that multiple harmonic sums of the form

apk<n1<<nd<(a+1)pk1n1s1ndsd,for aZ,kN,sd,,s1N,
admit a simple canonical expansion in terms of p-adic multiple zeta values. More generally, we interpret geometrically the multiplication by p of the upper bound of a multiple harmonic sum. This is equivalent to the inversion of the sums of series that express p-adic multiple zeta values. The result leads to the definition of a notion of finite multiple zeta values that is of geometric origin; it gives a framework to study the algebraic properties of those multiple harmonic sums whose upper bound is a power of a prime number. The result also has applications to a conjecture of Kaneko and Zagier.

Nous montrons que les sommes harmoniques multiples de la forme

apk<n1<<nd<(a+1)pk1n1s1ndsd,pour aZ,kN,sd,,s1N,
admettent un développement canonique simple en termes de multizêtas p-adiques. Plus généralement, nous interprétons géométriquement la multiplication par p de la borne supérieure d'une somme harmonique multiple. Cela équivaut à l'inversion des sommes de séries qui expriment les multizêtas p-adiques. Le résultat entraîne la définition d'une notion de multizêtas finis qui est d'origine géométrique ; il donne un cadre pour étudier les propriétés algébriques des sommes harmoniques multiples dont la borne supérieure est une puissance d'un nombre premier. Le résultat a aussi des applications à une conjecture de Kaneko et Zagier.

Received:
Accepted:
Published online:
DOI: 10.1016/j.crma.2015.07.008
Jarossay, David 1

1 Institut de mathématiques de Jussieu Paris Rive-Gauche, Université Paris-Diderot, 75005 Paris, France
@article{CRMATH_2015__353_10_877_0,
     author = {Jarossay, David},
     title = {Une notion de multiz\^etas finis associ\'ee au {Frobenius} du groupe fondamental de $ {\mathbb{P}}^{1}\backslash \{0,1,\infty \}$},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {877--882},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {353},
     number = {10},
     year = {2015},
     doi = {10.1016/j.crma.2015.07.008},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.07.008/}
}
TY  - JOUR
AU  - Jarossay, David
TI  - Une notion de multizêtas finis associée au Frobenius du groupe fondamental de $ {\mathbb{P}}^{1}\backslash \{0,1,\infty \}$
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2015
SP  - 877
EP  - 882
VL  - 353
IS  - 10
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.07.008/
DO  - 10.1016/j.crma.2015.07.008
LA  - fr
ID  - CRMATH_2015__353_10_877_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Jarossay, David
%T Une notion de multizêtas finis associée au Frobenius du groupe fondamental de $ {\mathbb{P}}^{1}\backslash \{0,1,\infty \}$
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2015
%P 877-882
%V 353
%N 10
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.07.008/
%R 10.1016/j.crma.2015.07.008
%G fr
%F CRMATH_2015__353_10_877_0
Jarossay, David. Une notion de multizêtas finis associée au Frobenius du groupe fondamental de $ {\mathbb{P}}^{1}\backslash \{0,1,\infty \}$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 10, pp. 877-882. doi : 10.1016/j.crma.2015.07.008. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.07.008/

[1] Deligne, P. Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points, Berkeley, CA, 1987 (Math. Sci. Res. Inst. Publ.), Volume vol. 16 (1989)

[2] Deligne, P.; Goncharov, A.B. Groupes fondamentaux motiviques de Tate mixtes, Ann. Sci. Éc. Norm. Super., Volume 38 (2005) no. 1, pp. 1-56

[3] Furusho, H. p-Adic multiple zeta values I – p-adic multiple polylogarithms and the p-adic KZ equation, Invent. Math., Volume 155 (2004) no. 2, pp. 253-286

[4] Furusho, H. p-Adic multiple zeta values II – Tannakian interpretations, Amer. J. Math., Volume 129 (2007) no. 4, pp. 1105-1144

[5] Jarossay, D. p-Adic multiple zeta values and multiple harmonic sums – I: p-adic multiple polylogarithms as explicit functions (prépublication) | arXiv

[6] Jarossay, D. p-Adic multiple zeta values and multiple harmonic sums – II: p-adic decompositions of multiple harmonic sums (prépublication) | arXiv

[7] Jarossay, D. Double mélange des multizêtas finis et multizêtas symétrisés, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 352 (2014), pp. 767-771

[8] Jarossay, D. Finite multiple zeta values, formal algebraic relations and the fundamental group of M0,4 and M0,5 – I (prépublication) | arXiv

[9] Jarossay, D. Un cadre explicite pour les polylogarithmes multiples p-adiques et les multizêtas p-adiques, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 353 (2015) no. 10, pp. 871-876 | DOI

[10] Rosen, J. Asymptotic relations for weighted finite multiple zeta values | arXiv

[11] Washington, L.C. p-Adic L-functions and sums of powers, J. Number Theory, Volume 69 (1998) no. 1, pp. 50-61

[12] S. Yasuda, Notes d'un exposé donné à l'université de Kyushu (Japon) le 22 août 2014.

Cited by Sources: