Une remarque sur les sous-espaces complémentés de $ {\mathit{VB}}^{p}(\mu ,X)$

Daher, Mohammad

doi:10.1016/j.crma.2013.10.036

Analyse fonctionnelle

Une remarque sur les sous-espaces complémentés de

{VB}^{p} (μ, X)

Présenté par : Gilles Pisier

Daher, Mohammad

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 352 (2014) no. 1, pp. 43-49.

Résumé
Abstract

Soient $(Ω, F, μ)$ un espace de probabilité et X un espace de Banach. On montre que les espaces X et $L^{p} (μ, X)$ sont complémentés dans $X^{⁎ ⁎}$ et ${VB}^{p} (μ, X)$ , respectivement, si et seulement si $L^{p} (μ, X)$ est complémenté dans son bidual, $1 ⩽ p < \infty$ . Si $p = \infty$ , il faut considérer $L^{\infty} (μ) \hat{\hat{\otimes}} X$ au lieu de $L^{\infty} (μ, X)$ .

Dans la suite, on suppose que X contient une copie de $c_{0}$ . En construisant une copie convenable de $ℓ^{\infty}$ dans ${VB}^{p} (μ, X)$ lorsque μ est sans atome, on montre que $L^{p} (μ, X)$ nʼest pas complémenté dans ${VB}^{p} (μ, X)$ , $1 ⩽ p ⩽ \infty$ .

Soit E le sous espace fermé de $L^{\infty} (μ, X)$ définissant des opérateurs : $L^{1} (μ) / Z \to X$ , où Z est un sous espace fermé de $L^{1} (μ)$ . On construit une copie de $ℓ^{\infty}$ dans E lorsque $Z^{⊥}$ nʼest pas isomorphe à un espace de Hilbert. On en déduit que, si de plus $Z^{⊥}$ ne contient pas de copie de $c_{0}$ , lʼespace $Z^{⊥} \hat{\hat{\otimes}} X$ nʼest pas complémenté dans E.

Les deux premiers résultats sont connus pour $p = 1$ , en remplaçant ${VB}^{1} (μ, X)$ par sa copie isométrique $cabv (μ, X)$ .

Let $(Ω, F, μ)$ be a probability space and X a Banach space. We first show that X and $L^{p} (μ, X)$ are complemented in $X^{⁎ ⁎}$ and ${VB}^{p} (μ, X)$ , respectively, if and only if $L^{p} (μ, X)$ is complemented in its bidual, $1 ⩽ p < \infty$ . If $p = \infty$ , one considers $L^{\infty} (μ) \hat{\hat{\otimes}} X$ instead of $L^{\infty} (μ, X)$ .

We now assume that X contains a copy of $c_{0}$ . By constructing a suitable copy of $ℓ^{\infty}$ in ${VB}^{p} (μ, X)$ if μ is atomless, we show that $L^{p} (μ, X)$ is not complemented in ${VB}^{p} (μ, X)$ , $1 ⩽ p ⩽ \infty$ .

Let E be the closed subspace of $L^{\infty} (μ, X)$ defining operators: $L^{1} (μ) / Z \to X$ , where Z is a closed subspace of $L^{1} (μ)$ . We construct a copy of $ℓ^{\infty}$ in E when $Z^{⊥}$ is not isomorphic to a Hilbert space. We deduce that, if moreover $Z^{⊥}$ contains no copy of $c_{0}$ , the subspace $Z^{⊥} \hat{\hat{\otimes}} X$ is not complemented in E.

The first two results are known for $p = 1$ , replacing ${VB}^{1} (μ, X)$ by its isometric copy $cabv (μ, X)$ .

Reçu le : 2013-06-07
Accepté le : 2013-10-31
Publié le : 2013-11-28

DOI : 10.1016/j.crma.2013.10.036

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Daher, Mohammad. Une remarque sur les sous-espaces complémentés de $ {\mathit{VB}}^{p}(\mu ,X)$. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 352 (2014) no. 1, pp. 43-49. doi : 10.1016/j.crma.2013.10.036. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.10.036/

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