[Asymptotique dʼun problème aux valeurs propres avec condition de Robin]
Le problème de Robin que lʼon considère peut formellement être vu comme une petite perturbation dʼun problème de Dirichlet. Néanmoins, à cause du signe de lʼimpédance, ses valeurs propres vont ponctuellement vers −∞ lorsque le petit paramètre tend vers 0. Nous montrons néanmoins que les couples valeurs–vecteurs propres du problème de Dirichlet sont les seuls points dʼaccumulation des couples valeurs–vecteurs propres de Robin associés à des suites de vecteurs propres normalisés. Nous proposons un critère qui permet de sélectionner les suites de valeurs propres et de vecteurs propres qui sʼaccumulent sur les valeurs propres et les vecteurs propres de Dirichlet, et nous donnons et justifions leur développement asymptotique complet par rapport au petit paramètre.
The considered Robin problem can formally be seen as a small perturbation of a Dirichlet problem. However, due to the sign of the impedance value, its associated eigenvalues converge point-wise to −∞ as the perturbation goes to zero. We prove in this case that Dirichlet eigenpairs are the only accumulation points of the Robin eigenpairs with normalized eigenvectors. We then provide a criterion to select accumulating sequences of eigenvalues and eigenvectors and exhibit their full asymptotic with respect to the small parameter.
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Cakoni, Fioralba; Chaulet, Nicolas; Haddar, Houssem. On the asymptotics of a Robin eigenvalue problem. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 351 (2013) no. 13-14, pp. 517-521. doi : 10.1016/j.crma.2013.07.022. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.07.022/
[1] Modèles dʼimpédance généralisée en diffraction inverse, 2012 (PhD thesis)
[2] On the asymptotic behaviour of the eigenvalues of a Robin problem, Differ. Integral Equ., Volume 27 (2010) no. 7–8, pp. 659-669
[3] Multidimensional reaction diffusion equations with nonlinear boundary conditions, SIAM J. Appl. Math., Volume 58 (1998) no. 5, pp. 1622-1647
[4] On the principal eigenvalue of a Robin problem with a large parameter, Math. Nachr., Volume 281 (2008) no. 2, pp. 272-281
[5] Mathematical Problems in Elasticity and Homogenization, North-Holland Publishing, Amsterdam, 1992
Cité par Sources :
