Nous estimons la fonction de renouvellement, associée à des variables aléatoires positives indépendantes et non stationnaires, par une somme de U-statistiques ou de V-statistiques. Nous étudions ses propriétés asymptotiques : normalité asymptotique, convergence presque sûre ainsi que sa convergence faible. Cette dernière sera traitée dans lʼespace des fonctions définies sur continues à droite et admettant une limite à gauche, muni de la topologie de Skorokhod.
We estimate the renewal function, for independent and nonstationary positive random variables, by considering a sum of U-statistics or V-statistics. We study its asymptotic properties: asymptotic normality, almost sure convergence and weak convergence. This last property will be established on the space of functions defined on that are right-continuous and have left-hand limits, provided with the Skorokhod topology.
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Harel, Michel; Ravelomanantsoa, Fy Mamenosoa. Comportement asymptotique de lʼestimateur non paramétrique de la fonction de renouvellement associée à des variables aléatoires positives indépendantes et non stationnaires. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 351 (2013) no. 13-14, pp. 575-578. doi : 10.1016/j.crma.2013.07.011. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.07.011/
[1] Convergence of Probability Measures, Wiley, New York, 1968
[2] Central limit theorem of the smoothed empirical distribution functions for asymptotically stationary absolutely regular stochastic processes, J. Appl. Math. Stoch. Anal. (2008) Article ID 735436 (18 p.)
[3] Nonparametric renewal function estimation, Ann. Stat., Volume 14 (1986) no. 4, pp. 1366-1378
[4] Asymptotics of the sample renewal function, J. Math. Anal. Appl., Volume 189 (1995), pp. 240-255
[5] Comparison of nonparametric estimators of the renewal function, Appl. Stat., Volume 39 (1987), pp. 55-61
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