Mathematical Problems in Mechanics
The motion of a solid with large deformations
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 13-14, pp. 579-583.

We study the motion of a solid with large deformations. The solid may be loaded on its surface by needles, rods, beams, plates… Therefore it is wise to choose a third-gradient theory for the body. Stretch matrix of the polar decomposition has to be symmetric. This is an internal constraint which introduces a reaction stress in the Piola–Kirchhoff–Boussinesq stress. We prove that there exists a motion that satisfies the complete equations of Mechanics in a convenient variational framework. This motion is local-in-time because it may be interrupted by crushing, resulting in a discontinuity of velocity with respect to time, i.e., an internal collision.

On étudie le mouvement dʼun solide en grandes déformations. Ce solide peut être chargé par des pointes, des fils, des poutres, des plaques… Cela nous conduit à retenir une théorie du troisième gradient dans le solide. La matrice dʼélongation qui apparaît dans la décomposition polaire doit être symétrique. Cette liaison interne introduit une contrainte de réaction qui contribue à la contrainte de Piola–Kirchhoff–Boussinesq. On montre alors quʼil existe un mouvement qui satisfait toutes les équations de la mécanique dans un cadre variationnel convenable. Ce mouvement est local en temps, car il peut être interrompu par un écrasement, provoquant une discontinuité de vitesse par rapport au temps, cʼest-à-dire une collision interne.

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DOI: 10.1016/j.crma.2013.06.012
Bonetti, Elena 1; Colli, Pierluigi 1; Frémond, Michel 2

1 Laboratorio Lagrange, Dipartimento di Matematica “F. Casorati”, Università di Pavia, Via Ferrata, 1, 27100 Pavia, Italy
2 Laboratorio Lagrange, Dipartimento di Ingegneria Civile, Università di Roma “Tor Vergata”, Via del Politecnico, 1, 00163 Roma, Italy
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Bonetti, Elena; Colli, Pierluigi; Frémond, Michel. The motion of a solid with large deformations. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 13-14, pp. 579-583. doi : 10.1016/j.crma.2013.06.012. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.06.012/

[1] Frémond, M. Grandes déformations et comportements extrêmes, C. R. Mecanique, Volume 337 (2009) no. 1, pp. 24-29

[2] Frémond, M. Équilibre dʼun solide élastique en grandes déformations, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 347 (2009), pp. 457-462

Cited by Sources: