Degree and class of caustics by reflection for a generic source

Josse, Alfrederic; Pène, Françoise

doi:10.1016/j.crma.2013.04.019

Algebraic Geometry

Degree and class of caustics by reflection for a generic source
[Degré et classe des caustiques par réflexion pour une source générique]

Présenté par : the Editorial Board

Josse, Alfrederic ¹ ; Pène, Françoise ¹

¹ LMBA UMR 6205, Université de Brest, 6 avenue Victor-Le-Gorgeu, CS 93837, 29238 Brest cedex 3, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 351 (2013) no. 7-8, pp. 295-297.

Résumé
Abstract

Étant donnés une courbe algébrique irréductible $C \subseteq P^{2} : = P^{2} (C)$ (miroir) et une position $S \in P^{2}$ (position de la source lumineuse), la caustique par réflexion $Σ_{S} (C)$ de $C$ issue de S est lʼadhérence de Zariski de lʼenveloppe des droites réfléchies obtenues à partir des droites issues de S après réflexion sur $C$ . Dans Josse et Pène (forthcoming [7] et preprint [8]), nous avons établi des formules pour le degré et la classe (avec multiplicité) de $Σ_{S} (C)$ valables pour toute courbe $C$ et tout S. Lʼobjet de la présente note est de prouver la birationnalité de lʼapplication caustique (pour un S générique dans $P^{2}$ ) et de donner des formules simples pour le degré et la classe (sans multiplicité) de $Σ_{S} (C)$ pour toute courbe $C$ et pour un S générique dans $P^{2}$ .

Given any irreducible algebraic (mirror) curve $C \subseteq P^{2} : = P^{2} (C)$ and any (light position) $S \in P^{2}$ , the caustic by reflection $Σ_{S} (C)$ of $C$ from S is the Zariski closure of the envelope of the reflected lines got from the lines coming from S after reflection on $C$ . In Josse and Pène (forthcoming [7] and preprint [8]), we established formulas for the degree and class (with multiplicity) of $Σ_{S} (C)$ for any $C$ and any S. In this paper, we prove the birationality of the caustic map for a generic S in $P^{2}$ . Moreover, we give simple formulas for the degree and class (without multiplicity) of $Σ_{S} (C)$ for any $C$ and for a generic S in $P^{2}$ .

Reçu le : 2013-01-09
Accepté le : 2013-04-19
Publié le : 2013-04-01

DOI : 10.1016/j.crma.2013.04.019

Affiliations des auteurs :

Josse, Alfrederic ¹ ; Pène, Françoise ¹

¹ LMBA UMR 6205, Université de Brest, 6 avenue Victor-Le-Gorgeu, CS 93837, 29238 Brest cedex 3, France

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Josse, Alfrederic; Pène, Françoise. Degree and class of caustics by reflection for a generic source. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 351 (2013) no. 7-8, pp. 295-297. doi : 10.1016/j.crma.2013.04.019. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.04.019/

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