Rational curves on Fermat hypersurfaces

Shen, Mingmin

doi:10.1016/j.crma.2012.09.015

Algebraic Geometry

Rational curves on Fermat hypersurfaces
[Courbes rationnelles sur des hypersurfaces de Fermat]

Présenté par : Claire Voisin

Shen, Mingmin ¹

¹ DPMMS, University of Cambridge, Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WB, UK

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 350 (2012) no. 15-16, pp. 781-784.

Résumé
Abstract

Note nous étudions les courbes rationnelles sur les hypersurfaces de Fermat de degré $p^{r} + 1$ dans $P_{k}^{p^{r} + 1}$ , où k est un corps algébriquement clos de caractéristique p. Le point essentiel est la présence du morphisme de Frobenius qui rend le comportement des courbes rationnelles très différent du cas de caractéristique 0. Nous montrons que si $N_{0}$ est un entier tel que pour tout $e ⩾ N_{0}$ il y ait une courbe rationnelle très libre de degré e sur lʼhypersurface de Fermat, alors $N_{0} > p^{r} (p^{r} - 1)$ .

In this note we study rational curves on degree $p^{r} + 1$ Fermat hypersurface in $P_{k}^{p^{r} + 1}$ , where k is an algebraically closed field of characteristic p. The key point is that the presence of Frobenius morphism makes the behavior of rational curves to be very different from that of characteristic 0. We show that if there exists $N_{0}$ such that for all $e ⩾ N_{0}$ there is a degree e very free rational curve on X, then $N_{0} > p^{r} (p^{r} - 1)$ .

Reçu le : 2012-07-18
Accepté le : 2012-09-18
Publié le : 2012-08-01

DOI : 10.1016/j.crma.2012.09.015

Affiliations des auteurs :

Shen, Mingmin ¹

¹ DPMMS, University of Cambridge, Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WB, UK

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Shen, Mingmin. Rational curves on Fermat hypersurfaces. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 350 (2012) no. 15-16, pp. 781-784. doi : 10.1016/j.crma.2012.09.015. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2012.09.015/

Bibliographie
Cité par

[1] Bridges, T.; Datta, R.; Eddy, J.; Newman, M.; Yu, J. Free and very free morphisms into a Fermat hypersurface | arXiv

[2] Campana, F. Connexité rationnelle des variétés de Fano, Ann. Sci. E.N.S., Volume 25 (1992), pp. 539-545

[3] D. Conduché, Courbes rationnelles et hypersurfaces de lʼespace projectif, PhD thesis, Université Louis Pasteur, 2006; Available at http://www.math.ens.fr/~debarre/conduche.pdf.

[4] Kollár, J. Rational Curves on Algebraic Varieties, Springer, 1996

[5] Kollár, J.; Miyaoka, Y.; Mori, S. Rational connectedness and boundedness of Fano manifolds, J. Diff. Geom., Volume 36 (1992), pp. 765-769

[6] Zhu, Y. Fano hypersurfaces in positive characteristic, 2011 (preprint) | arXiv

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