Internal rectification for elastic surface waves

Marcou, Alice

doi:10.1016/j.crma.2011.07.008

Partial Differential Equations

Internal rectification for elastic surface waves
[Rectification interne dʼondes de surface élastiques]

Présenté par : Gérard Iooss

Marcou, Alice ¹

¹ Université de Bordeaux, IMB, 33405 Talence cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 23-24, pp. 1239-1244.

Résumé
Abstract

On prouve que des ondes de surface élastiques rapidement oscillantes peuvent produire un déplacement interne non oscillant non trivial.

On considère des ondes de surface élastiques de la forme, sur $y > 0$ :

U^{ε} (t, x, y) \sim \sum_{k = 2}^{\infty} ε^{k} U_{k} (t, x, y, \frac{x - c t}{ε}, \frac{y}{ε}),

avec des profils

U_{k} (t, x, y, Y, θ) = {\underset{̲}{U}}_{k} (t, x, y) + U_{k}^{⁎} (t, x, θ, Y)

, où

U_{k}^{⁎}

est périodique en θ et exponentiellement décroissant vers 0 en Y.

On prouve que, en général, le correcteur $U_{3}$ nʼest pas purement localisé près de la frontière, cʼest-à-dire ${\underset{̲}{U}}_{3}$ nʼest pas nul. $U_{3}$ dépend de la variable lente y et ne décroît pas vers 0 lorsque Y tend vers +∞, même si les termes source sont exponentiellement décroissants vers 0.

We prove that fast oscillatory elastic surface waves can produce nontrivial internal nonoscillatory displacements.

We consider elastic surface waves of the form, in $y > 0$ :

U^{ε} (t, x, y) \sim \sum_{k = 2}^{\infty} ε^{k} U_{k} (t, x, y, \frac{x - c t}{ε}, \frac{y}{ε}),

with profiles

U_{k} (t, x, y, Y, θ) = {\underset{̲}{U}}_{k} (t, x, y) + U_{k}^{⁎} (t, x, θ, Y)

, where

U_{k}^{⁎}

is periodic in θ and exponentially decaying to 0 in Y.

We prove that, in general, the corrector $U_{3}$ is not purely localized near the boundary, that is ${\underset{̲}{U}}_{3}$ does not vanish. $U_{3}$ depends on the slow variable y and does not decay to 0 when Y tends to +∞, even if the source terms are exponentially decaying to 0.

Reçu le : 2011-05-11
Accepté le : 2011-07-07
Publié le : 2011-11-09

DOI : 10.1016/j.crma.2011.07.008

Affiliations des auteurs :

Marcou, Alice ¹

¹ Université de Bordeaux, IMB, 33405 Talence cedex, France

@article{CRMATH_2011__349_23-24_1239_0,
     author = {Marcou, Alice},
     title = {Internal rectification for elastic surface waves},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {1239--1244},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {349},
     number = {23-24},
     year = {2011},
     doi = {10.1016/j.crma.2011.07.008},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.07.008/}
}

TY  - JOUR
AU  - Marcou, Alice
TI  - Internal rectification for elastic surface waves
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2011
SP  - 1239
EP  - 1244
VL  - 349
IS  - 23-24
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.07.008/
DO  - 10.1016/j.crma.2011.07.008
LA  - en
ID  - CRMATH_2011__349_23-24_1239_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Marcou, Alice
%T Internal rectification for elastic surface waves
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2011
%P 1239-1244
%V 349
%N 23-24
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.07.008/
%R 10.1016/j.crma.2011.07.008
%G en
%F CRMATH_2011__349_23-24_1239_0

Marcou, Alice. Internal rectification for elastic surface waves. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 23-24, pp. 1239-1244. doi : 10.1016/j.crma.2011.07.008. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.07.008/

Bibliographie
Cité par

[1] Benzoni-Gavage, S. Local well-posedness of nonlocal Burgers equations, Differential Integral Equations, Volume 22 (2009) no. 3–4, pp. 303-320

[2] Hunter, J.K. Nonlinear surface waves, Contemp. Math., Volume 100 (1989), pp. 185-202

[3] Lardner, R.W. Nonlinear surface waves on an elastic solid, Int. J. Engrg. Sci., Volume 21 (1983), pp. 1331-1342

[4] Marcou, A. Rigorous weakly nonlinear geometric optics for surface waves, Asymptot. Anal., Volume 69 (2010), pp. 125-174

[5] Parker, D.F. Waveform evolution for nonlinear surface acoustic waves, Int. J. Engrg. Sci., Volume 26 (1988), pp. 59-75

[6] Parker, D.F.; Talbot, F.M. Analysis and computation for nonlinear elastic surface waves of permanent form, J. Elasticity, Volume 15 (1985) no. 4, pp. 389-426

Cité par Sources :