Dans cette Note, nous considérons les tests portmanteau, aussi appelés tests d'autocorrélation, pour tester l'adéquation de modèles ARMA multivarié (VARMA) avec innovations linéaires non corrélées mais non nécessairement indépendantes (i.e. VARMA faibles). Nous relâchons l'hypothèse standard d'indépendance pour étendre le champ d'application des modèles VARMA, ceci permettra aussi de couvrir une large classe de processus non linéaires. Dans un premier temps, nous étudions la distribution asymptotique jointe de l'estimateur du quasi-maximum de vraisemblance (QMV) et des autocovariances empiriques du bruit. Ceci nous permet ensuite d'obtenir les distributions asymptotiques des autocovariances et autocorrelations résiduelles. Enfin, nous en déduisons le comportement asymptotique des statistiques portmanteau de Ljung–Box (ou Box–Pierce) de modèles VARMA faibles. Nous proposons une méthode pour ajuster les valeurs critiques de ces tests.
In this Note, we consider portmanteau tests for testing the adequacy of vector autoregressive moving-average (VARMA) models under the assumption that the errors are uncorrelated but not necessarily independent. We relax the standard independence assumption to extend the range of application of the VARMA models, allowing us to treat linear representations of general nonlinear processes. We first study the joint distribution of the quasi-maximum likelihood estimator (QMLE) and the noise empirical autocovariances. We thus obtain the asymptotic distribution of residual empirical autocovariances and autocorrelations under weak assumptions on the noise. We deduce the asymptotic distribution of the Ljung–Box (or Box–Pierce) portmanteau statistics for VARMA models with nonindependent innovations. We propose a method to adjust the critical values of the portmanteau tests.
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Boubacar Mainassara, Yacouba. Tests portmanteau multivariés d'adéquation de modèles VARMA faibles. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 15-16, pp. 927-929. doi : 10.1016/j.crma.2010.07.017. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2010.07.017/
[1] Estimating structural VARMA models with uncorrelated but non-independent error terms, 2009 http://perso.univ-lille3.fr/~cfrancq/pub.html (Working papers)
[2] Distribution of residual autocorrelations in autoregressive integrated moving average time series models, Journal of the American Statistical Association, Volume 65 (1970), pp. 1509-1526
[3] Distribution of residual autocorrelations in multiple autoregressive schemes, Journal of the American Statistical Association, Volume 69 (1974), pp. 928-934
[4] Diagnostic checking in ARMA models with uncorrelated errors, Journal of the American Statistical Association, Volume 100 (2005), pp. 532-544
[5] The multivariate portmanteau statistic, Journal of the American Statistical Association, Volume 75 (1980), pp. 602-608
[6] Equivalent forms of the multivariate portmanteau statistic, Journal of the Royal Statistical Society B, Volume 43 (1981), pp. 261-262
[7] Computing the distribution of quadratic forms in normal variables, Biometrika, Volume 48 (1961), pp. 419-426
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