Soient G un groupe de Lie résoluble exponentiel d'algèbre de Lie et π une représentation irréductible et unitaire de G, de carré intégrable (modulo le centre) associée à une G-orbite Ω par l'application de Kirillov–Bernat (Auslander and Moore, 1966 ; Bernat et al., 1972 [1,2]). Soient H un sous-groupe fermé connexe de G d'algèbre de Lie et l'application restriction. Dans le cas où la restriction de la représentation π au sous-groupe H se décompose discrètement et avec multiplicités finies en représentations irréductibles, on dit que la série discrète en question est H-. Nous allons démontrer la conjecture suivante due à Duflo : La représentation π est H-admissible si et seulement si la restriction de l'application p à Ω est propre sur son image. Dans le cas d'espèce, ces deux conditions sont équivalentes à , où est le centre de .1
Let G be an exponential solvable Lie group, its Lie algebra and π a unitary irreducible representation of G which is square integrable modulo the center, associated by the Kirillov–Bernat map (Auslander and Moore, 1966; Bernat et al., 1972 [1,2]) to a G-orbit Ω. Let H be a closed connected subgroup of G with Lie algebra and the restriction map. We say that the representation π is H- if its restriction to the subgroup H splits in irreducible representations with finite multiplicities. We shall prove the following conjecture due to Duflo: The representation π is H-admissible, if and only if, the restriction of p to Ω is proper on the range . In the case at hand, these two conditions are equivalent to , where is the center of .
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TY - JOUR AU - Kouki, Sami TI - La conjecture de Duflo pour les groupes résolubles exponentiels JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2010 SP - 735 EP - 738 VL - 348 IS - 13-14 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2010.07.001/ DO - 10.1016/j.crma.2010.07.001 LA - fr ID - CRMATH_2010__348_13-14_735_0 ER -
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Kouki, Sami. La conjecture de Duflo pour les groupes résolubles exponentiels. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 13-14, pp. 735-738. doi : 10.1016/j.crma.2010.07.001. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2010.07.001/
[1] Unitary representations of solvable Lie groups, Mem. Amer. Math. Soc., Volume 62 (1966), p. 199
[2] Représentations des groupes de Lie résolubles, Monographies de la Société Mathématique de France, vol. 4, Dunod, Paris, 1972
[3] Sur l'analyse harmonique sur les groupes de Lie résolubles, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 9 (1976) no. 1, pp. 107-144
[4] Sur les restrictions des représentations unitaires des groupes de Lie résolubles exponentiels, Invent. Math., Volume 104 (1991) no. 3, pp. 647-654
[5] Induced representations of locally compact groups. I, Ann. of Math. (2), Volume 55 (1952), pp. 101-139
[6] Restrictions of some unitary representations of to , J. of Funct. Anal., Volume 103 (1992) no. 2, pp. 352-371
[7] Harmonic Analysis on Semi-Simple Lie Groups. I, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 188, Springer-Verlag, New York, 1972
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