$ {L}^{p}$ and $ {W}^{1,p}$ regularity of the solution of a steady transport equation

Girault, Vivette; Tartar, Luc

doi:10.1016/j.crma.2010.06.025

Partial Differential Equations

L^{p}

and

W^{1, p}

regularity of the solution of a steady transport equation
[Régularité dans

L^{p}

W^{1, p}

de la solution d'une équation de transport stationnaire]

Présenté par : Pierre-Louis Lions

Girault, Vivette ^1,² ; Tartar, Luc ³

¹ UPMC–Paris 6, CNRS, UMR 7598, 75005 Paris, France
² Department of Mathematics, TAMU, College Station, TX 77843, USA
³ Department of Mathematical Sciences, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA 15213-3890, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 15-16, pp. 885-890.

Résumé
Abstract

On considère une équation de transport vectorielle stationnaire dans un domaine Lipschitz borné de $R^{d}$ , $2 ⩽ d ⩽ 4$ , avec une vitesse de transport dans $H^{1}$ , à divergence nulle, tangentielle sur le bord. A l'aide de deux régularisations, d'abord avec un terme visqueux de pénalisation et ensuite avec une approximation de Yosida, on montre que si la donnée est dans $L^{p}$ , $2 ⩽ p < \infty$ , alors la solution est dans $L^{p}$ . On applique ce résultat pour démontrer que si la donnée d'une équation de transport scalaire est dans $W^{1, p}$ et la vitesse de transport est dans $W^{1, \infty}$ , assez petite, alors la solution est dans $W^{1, p}$ .

We consider a steady transport system of equations in a bounded Lipschitz domain of $R^{d}$ , $2 ⩽ d ⩽ 4$ , with a divergence-free transport velocity in $H^{1}$ , tangential on the boundary. By means of two regularizations, first with a viscous penalty term and next with a Yosida approximation, we prove that an $L^{p}$ data, $2 ⩽ p < \infty$ , yields a solution in $L^{p}$ . We apply this result to establish that for data in $W^{1, p}$ and transport velocity in $W^{1, \infty}$ , sufficiently small, the solution of a scalar transport equation belongs to $W^{1, p}$ .

Reçu le : 2010-01-04
Accepté le : 2010-06-29
Publié le : 2010-08-01

DOI : 10.1016/j.crma.2010.06.025

Affiliations des auteurs :

Girault, Vivette ^{1, 2} ; Tartar, Luc ³

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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Girault, Vivette; Tartar, Luc. $ {L}^{p}$ and $ {W}^{1,p}$ regularity of the solution of a steady transport equation. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 15-16, pp. 885-890. doi : 10.1016/j.crma.2010.06.025. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2010.06.025/

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