On some inequalities of Bourgain, Brezis, Maz'ya, and Shaposhnikova related to $ {L}^{1}$ vector fields

Mironescu, Petru

doi:10.1016/j.crma.2010.03.019

Mathematical Analysis

On some inequalities of Bourgain, Brezis, Maz'ya, and Shaposhnikova related to

L^{1}

vector fields
[Sur certaines inégalités de Bourgain, Brezis, Maz'ya et Shaposhnikova concernant les champs de vecteurs dans

L^{1}

]

Présenté par : Haïm Brezis

Mironescu, Petru ¹

¹ Université de Lyon, Université Lyon 1, CNRS, UMR 5208 Institut Camille-Jordan, bâtiment du Doyen Jean-Braconnier, 43, boulevard du 11 novembre 1918, 69200 Villeurbanne cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 9-10, pp. 513-515.

Résumé
Abstract

Bourgain and Brezis ont montré que, si $f \in L^{n} (T^{n})$ est de moyenne nulle, alors (1) $div Y = f$ a une solution $Y \in W^{1, n} \cap C^{0}$ . Maz'ya a prouvé que si, de plus, on a $f \in H^{n / 2 - 1} (T^{n})$ , alors il existe une solution de (1) dans $H^{n / 2} \cap L^{\infty}$ . Les deux preuves sont distinctes. Dans cette note, nous présentons une propriété élémentaire des solutions fondamentales de l'opérateur biharmonique en dimension deux. Cette propriété unifie, en dimension deux, les approches de Bourgain–Brezis et Maz'ya, et implique une autre estimation de Maz'ya et Shaposhnikova (apparemment non liée aux précédentes). Nous discutons des variantes de ces résultats en dimension supérieure.

Bourgain and Brezis established, for maps $f \in L^{n} (T^{n})$ with zero average, the existence of a solution $Y \in W^{1, n} \cap L^{\infty}$ of (1) $div Y = f$ . Maz'ya proved that if, in addition, $f \in H^{n / 2 - 1} (T^{n})$ , then (1) can be solved in $H^{n / 2} \cap L^{\infty}$ . Their arguments are quite different. We present an elementary property of fundamental solutions of the biharmonic operator in two dimensions. This property unifies, in two dimensions, the two approaches, and implies another (apparently unrelated) estimate of Maz'ya and Shaposhnikova. We discuss higher dimensional analogs of the above results.

Accepté le : 2010-03-23
Publié le : 2010-04-22

DOI : 10.1016/j.crma.2010.03.019

Affiliations des auteurs :

Mironescu, Petru ¹

¹ Université de Lyon, Université Lyon 1, CNRS, UMR 5208 Institut Camille-Jordan, bâtiment du Doyen Jean-Braconnier, 43, boulevard du 11 novembre 1918, 69200 Villeurbanne cedex, France

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Mironescu, Petru. On some inequalities of Bourgain, Brezis, Maz'ya, and Shaposhnikova related to $ {L}^{1}$ vector fields. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 9-10, pp. 513-515. doi : 10.1016/j.crma.2010.03.019. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2010.03.019/

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