Relaxed micro–macro schemes for kinetic equations

Lemou, Mohammed

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 7-8, pp. 455-460.

Dans Bennoune et al. (2008) [1], Lemou et Mieussens (2008) [6], nous avons récemment développé une approche générale pour construire des schémas numériques, dits AP (Asymptotic Preserving), capables de résoudre les équations cinétiques à différentes échelles (cinétique, fluide, diffusion). Cette stratégie est basée sur la décomposition micro–macro de la fonction distribution et peut s'appliquer à une large classe d'équations cinétiques (Boltzmann, Landau, etc.) et à différentes asymptotiques (Euler, Navier–Stokes, diffusion, etc.) quand le nombre de Knudsen ε tend vers 0. Cependant, elle nécessite généralement des inversions coûteuses d'opérateurs non locaux et la propriété (AP) n'est formellement vérifiée que pour des données initiales proches de l'équilibre dans le cas non linéaire. Dans ce travail, nous présentons une nouvelle formulation de cette stratégie ayant les propriétés suivantes : i) La donnée initiale est arbitraire et peut être choisie indépendante de ε. ii) Aucune inversion d'opérateur de collision n'est nécessaire, et un schéma implicite en temps est obtenu pour les modèles asymptotiques dans la limite ε→0, permettant de s'affranchir de la condition CFL diffusive usuelle. iii) Les schémas numériques obtenus sont consistants avec le modèle pour tout ε>0, et dégénèrent en des discretizations consistantes avec les modèles asymptotiques (Euler, Navier–Stokes, diffusion) quand ε tend vers 0, les paramètres de discrétisation étant maintenus fixés. Pour valider l'approche, des tests numériques préliminaires sont éffectués dans le cas d'une équation de transport linéaire et non-local, et de sa limite de diffusion.

In Bennoune et al. (2008) [1], Lemou and Mieussens (2008) [6] we recently developed a general approach to design asymptotic preserving (AP) schemes for kinetic equations which are able to solve both macroscopic (small Knudsen number ε) and kinetic scales using the same model and the same numerical parameters. The strategy is based on micro/macro decompositions of the distribution function and can be applied to a large class of kinetic models (Boltzmann, Landau, etc.). However, the so-obtained schemes are shown to be AP for only close-to-equilibrium initial data in the non-linear case and, in general, they require costly inversions of non-local collision operators. In the present work, we introduce a new formulation of this strategy with the following properties: i) Initial data does not need to be well prepared, and may be independent of ε. ii) No inversion (even linear) of collision operators is needed and time-implicit schemes are obtained for the asymptotic models in the limit ε→0, making the schemes free from the usual diffusive CFL constraint. iii) The numerical schemes are consistent with the models for all values of ε>0, and degenerate into consistent discretizations of the asymptotic model (Euler, Navier–Stokes, diffusion) when ε goes to 0, the numerical parameters (time–space–velocity steps) being fixed. Preliminary numerical validations of this approach are done on the non-local linear transport equation and its diffusion limit.

[1] Bennoune, M.; Lemou, M.; Mieussens, L. Uniformly stable numerical schemes for the Boltzmann equation preserving compressible Navier–Stokes asymptotics, J. Comput. Phys., Volume 227 (2008) no. 8, pp. 3781-3803

[2] Jin, S.; Pareschi, L.; Toscani, G. Uniformly accurate diffusive relaxation schemes for multiscale transport equations, SIAM J. Numer. Anal., Volume 38 (2000), pp. 913-936

[3] Klar, A. An asymptotic-induced scheme for nonstationary transport equations in the diffusion limit, SIAM J. Numer. Anal., Volume 35 (1998), pp. 1073-1094

[4] Klar, A. An asymptotic preserving numerical scheme for kinetic equations in the low Mach number limit, SIAM J. Numer. Anal., Volume 36 (1999), pp. 1507-1527

[5] M. Lemou, A new class of asymptotic preserving schemes for kinetic equations with non-local collision operators, Preprint

[6] Lemou, M.; Mieussens, L. A new asymptotic preserving scheme based on micro–macro formulation for linear kinetic equations in the diffusion limit, SIAM J. Sci. Comput., Volume 31 (2008) no. 1, pp. 334-368