no. 1-2
Optimal Control/Probability Theory
Optimal double stopping time problem
[Arrêt optimal avec deux temps d'arrêt]

Présenté par : Pierre-Louis Lions

Kobylanski, Magdalena1 ; Quenez, Marie-Claire2 ; Rouy-Mironescu, Elisabeth3
1 LAMA, CNRS – UMR 8050, université Paris Est, cité Descartes, 5, boulevard Descartes, Champs-sur-Marne, 77454 Marne-la-Vallée cedex 2, France
2 LPMA, CNRS – UMR 7599, université Paris-Diderot, 175 rue du Chevaleret, 75013 Paris, France
3 ICJ, École centrale de Lyon, CNRS – UMR 5208, 36, avenue Guy-de-Collongue, 69134 Ecully cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 1-2, pp. 65-69.

Nous étudions le problème d'arrêt optimal avec deux temps d'arrêt où la fonction valeur est définie par v(S)=esssup{E[ψ(τ1,τ2)|FS],τ1,τ2⩾S} pour chaque temps d'arrêt S. Nous montrons que ce problème se réduit à un problème d'arrêt optimal avec un seul temps d'arrêt pour un nouveau rendement ϕ, i.e. v(S)=esssup{E[ϕ(τ)|FS],τ⩾S}. Nous montrons l'existence de temps d'arrêt optimaux sous des hypothèses de régularité sur ψ.

We consider the optimal double stopping time problem v(S)=esssup{E[ψ(τ1,τ2)|FS],τ1,τ2⩾S} for each stopping time S. Following the optimal one stopping time problem, we study the existence of optimal stopping times and give a method to compute them. The key point is the construction of a new reward ϕ such that v(S)=esssup{E[ϕ(τ)|FS],τ⩾S}.

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DOI : 10.1016/j.crma.2009.11.020
Kobylanski, Magdalena 1 ; Quenez, Marie-Claire 2 ; Rouy-Mironescu, Elisabeth 3

1 LAMA, CNRS – UMR 8050, université Paris Est, cité Descartes, 5, boulevard Descartes, Champs-sur-Marne, 77454 Marne-la-Vallée cedex 2, France
2 LPMA, CNRS – UMR 7599, université Paris-Diderot, 175 rue du Chevaleret, 75013 Paris, France
3 ICJ, École centrale de Lyon, CNRS – UMR 5208, 36, avenue Guy-de-Collongue, 69134 Ecully cedex, France 
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[1] El Karoui, N. Les Aspects Probabilistes du Contrôle Stochastique, Ecole d'été de Probabilités de Saint-Flour IX, Springer-Verlag, 1981, p. 876

[2] Karatzas, I.; Shreve, S. Methods of Mathematical Finance, Springer-Verlag, 1999

[3] M. Kobylanski, M.-C. Quenez, Optimal multiple stopping: the Markovian case and applications to finance, working paper, 2009

[4] Kobylanski, M.; Quenez, M.-C.; Rouy-Mironescu, E. Optimal multiple stopping time problem | arXiv

[5] Neveu, J. Discrete-Parameter Martingales, North-Holland/American Elsevier, Amsterdam/New York, 1975 (English translation)

[6] Oksendal, B.; Sulem, A. Applied Stochastic Control of Jump Diffusions, Springer, 2007

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