We construct a two-parameter family of actions of the Lie algebra by differential-difference operators on . Here, k is a multiplicity-function for the Dunkl operators, and arises from the interpolation of the Weil representation and the minimal unitary representation of the conformal group. The action lifts to a unitary representation of the universal covering of , and can even be extended to a holomorphic semigroup . Our semigroup generalizes the Hermite semigroup studied by R. Howe (, ) and the Laguerre semigroup by T. Kobayashi and G. Mano (, ). The boundary value of our semigroup provides us with -generalized Fourier transforms , which includes the Dunkl transform () and a new unitary operator () as a Dunkl-type generalization of the classical Hankel transform.
À l'aide des opérateurs différentiels et aux différences de Dunkl sur , on construit une famille d'actions de l'algèbre de Lie dépendant de deux paramètres k et a. Ici k est une fonction de multiplicité associée aux opérateurs de Dunkl, et un paramètre d'interpolation entre la représentation de Weil et la représentation minimale du groupe conforme. On montre que s'intègre à une représentation unitaire du revêtement universel du groupe , et se prolonge à un semi-groupe holomorphe . Notre semi-groupe généralise le semi-groupe de Hermite, étudié par R. Howe (, ), ainsi que le semi-groupe de Laguerre dû à T. Kobayashi et G. Mano (, ). La valeur au bord de notre semi-groupe donne une transformation de Fourier -généralisée qui correspond à la transformation de Dunkl pour , et à une nouvelle transformation pour qui généralise la transformation de Hankel classique.
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Ben Saïd, Salem; Kobayashi, Toshiyuki; Ørsted, Bent. Generalized Fourier transforms $ {\mathcal{F}}_{k,a}$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 19-20, pp. 1119-1124. doi : 10.1016/j.crma.2009.07.015. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.07.015/
[1] Reflection groups in analysis and applications, Japan J. Math., Volume 3 (2008), pp. 215-246
[2] A remark on the Dunkl differential-difference operators (Barker, W.; Sally, P., eds.), Harmonic Analysis on Reductive Groups, Progr. Math., vol. 101, Birkhäuser, 1991, pp. 181-191
[3] Positive definite spherical functions on Olshanski domains, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 352 (2000), pp. 1345-1380
[4] The oscillator semigroup, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 48, Amer. Math. Soc., 1988, pp. 61-132
[5] Discrete decomposability of the restriction of with respect to reductive subgroups, Invent. Math., Volume 117 (1994), pp. 181-205 (Part II Ann. Math., 147, 1998, pp. 709-729 Part III Invent. Math., 131, 1998, pp. 229-256)
[6] The inversion formula and holomorphic extension of the minimal representation of the conformal group, Harmonic Analysis, Group Representations, Automorphic Forms and Invariant Theory: In Honor of Roger Howe, World Scientific, 2007, pp. 159-223 (cf.) | arXiv
[7] On Laguerre polynomials, Bessel functions, and Hankel transform and a series in the unitary dual of the simply-connected covering group of , Represent. Theory, Volume 4 (2000), pp. 181-224
[8] An uncertainty principle for the Dunkl transform, Bull. Austral. Math. Soc., Volume 59 (1999), pp. 353-360
[9] Theory of hyperfunctions I, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Volume 8 (1959), pp. 139-193
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