Quasi-frames of translates

Nitzan, Shahaf; Olevskii, Alexander

doi:10.1016/j.crma.2009.04.001

Mathematical Analysis/Harmonic Analysis

Quasi-frames of translates
[Systèmes de translatées proches des frames]

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Nitzan, Shahaf ¹ ; Olevskii, Alexander ¹

¹ School of Mathematical Sciences, Tel Aviv University, Ramat-Aviv, Israel 69978

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 13-14, pp. 739-742.

Résumé
Abstract

Nous construisons une suite réelle Λ uniformément discrète (de pas >0) et même lacunaire, et une fonction $g \in L^{2} (R)$ , telles que le système des translatées ${g (t - λ)} (λ \in Λ)$ soit un “quasi-frame” au sens suivant : pour tout $q > 2$ il existe $C (q) > 0$ tel que toute fonction $f \in L^{2} (R)$ est approchable dans $L^{2} (R)$ par des combinaisons linéaires $\sum c_{λ} g (t - λ)$ vérifiant ${(\sum {| c_{λ} |}^{q})}^{1 / q} ⩽ C (q) ‖ f ‖$ . Cela est impossible quand $q = 2$ , selon un résultat de Christensen, Deng et Heil.

We construct uniformly discrete, and even sparse, sequences of translates ${g (t - λ)}$ of a single function which have the following frame-type approximation property: for every $q > 2$ there exists $C (q)$ such that every function $f \in L^{2} (R)$ can be approximated with arbitrary small $L^{2}$ -error by a linear combination $\sum c_{λ} g (t - λ)$ satisfying the $l_{q}$ -estimate of the coefficients:

‖ {c_{λ}} ‖_{l_{q}} ⩽ C (q) ‖ f ‖ .

This cannot be done for

q = 2

, according to a result of Christensen, Deng and Heil.

Reçu le : 2009-03-12
Accepté le : 2009-03-31
Publié le : 2009-05-28

DOI : 10.1016/j.crma.2009.04.001

Affiliations des auteurs :

Nitzan, Shahaf ¹ ; Olevskii, Alexander ¹

¹ School of Mathematical Sciences, Tel Aviv University, Ramat-Aviv, Israel 69978

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Nitzan, Shahaf; Olevskii, Alexander. Quasi-frames of translates. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 13-14, pp. 739-742. doi : 10.1016/j.crma.2009.04.001. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.04.001/

Bibliographie
Cité par

[1] Christensen, O.; Deng, B.; Heil, C. Density of Gabor frames, Appl. Comput. Harmon. Anal., Volume 7 (1999), pp. 292-304

[2] Katznelson, Y. An Introduction to Harmonic Analysis, Dover Publications, Inc., New York, 1976

[3] Kozma, G.; Olevskii, A. Menshov representation spectra, J. Anal. Math., Volume 84 (2001), pp. 361-393

[4] Landau, H.J. A sparse sequence of exponentials closed on large sets, Bull. Am. Math. Soc., Volume 70 (1964), pp. 566-569

[5] Nitzan-Hahamov, S.; Olevskii, A. Sparse exponential systems: completeness with estimates, Israel J. Math., Volume 158 (2007), pp. 205-215

[6] Olevskii, A. Completeness in $L^{2} (R)$ of almost integer translates, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 324 (1997), pp. 987-991

[7] Olevskii, A. Approximation by translates in $L^{2} (R)$ , Real Anal. Exchange, Volume 24 (1998/1999) no. 1, pp. 43-44

[8] Olevskii, A.; Ulanovskii, A. Almost integer translates, Do nice generators exist?, J. Fourier Anal. Appl., Volume 10 (2004) no. 1, pp. 93-104

[9] Ramanathan, J.; Steger, T. Incompleteness of sparse coherent states, Appl. Comput. Harmon. Anal., Volume 2 (1995), pp. 148-153

Cité par Sources :

^☆ Supported in part by the Israel Science Foundation.