[Reconstruction de données frontières manquantes par la méthode de factorisation]
On considère le problème de complétion de données pour l'équation de Laplace dans un domaine cylindrique. Les conditions de Dirichlet et Neumann sont données sur une face du cylindre alors qu'il n'y a pas de condition sur l'autre face. Depuis Hadamard (1953) on sait que ce problème de Cauchy est mal posé. On le formule ici comme un problème de contrôle avec une fonction coût régularisée. On utilise la méthode de factorisation des problèmes aux limites elliptiques. Pour chaque jeu de données de Cauchy, on obtient l'estimé de la donnée manquante en résolvant un problème de Cauchy parabolique dans le cylindre et une équation linéaire. L'opérateur qui apparait dans ces problèmes vérifie une équation de Riccati indépendante des données.
We consider the data completion problem for the Laplace equation in a cylindrical domain. The Neumann and Dirichlet boundary conditions are given on one face of the cylinder while there is no condition on the other face. This Cauchy problem has been known since Hadamard (1953) to be ill-posed. Here it is set as an optimal control problem with a regularized cost function. We use the factorization method for elliptic boundary value problems. For each set of Cauchy data, to obtain the estimate of the missing data one has to solve a parabolic Cauchy problem in the cylinder and a linear equation. The operator appearing in these problems satisfy a Riccati equation that does not depend on the data.
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Ben Abda, Amel; Henry, Jacques; Jday, Fadhel. Missing boundary data reconstruction by the factorization method. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 9-10, pp. 501-504. doi : 10.1016/j.crma.2009.03.009. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.03.009/
[1] Solving Cauchy problems by minimizing an energy-like functional, Inverse Problems, Volume 34 (2005) no. 1, pp. 81-101
[2] On Cauchy's problem: II. Completion, regularization and approximation, Inverse Problems, Volume 21 (2006) no. 6, pp. 1915-1936
[3] An optimal control problem for a parabolic equation in non-cylindrical domains, Systems & Control Letters, Volume 11 (1988), pp. 73-77
[4] Lectures on Cauchy Problem in Linear Partial Equation, Dover, New York, 1953
[5] Factorization of second order elliptic boundary value problems by dynamic programming, Nonlinear Analysis, Volume 59 (2004), pp. 629-647
[6] Problèmes aux limites Non homogènes et Applications, vol. 1, Dunod, 1968
Cité par Sources :
