Le théorème limite central pour la marche aléatoire sur un réseau aléatoire stationnaire de conductances a été étudié par de nombreux auteurs. En dimension 1, lorsque conductances et résistances sont intégrables, on peut montrer, pour presque tout environnement, la convergence vers une loi gaussienne non dégénérée en suivant une méthode de martingales introduite par S. Kozlov (1985). Lorsque les résistances ne sont pas intégrables, Y. Derriennic et M. Lin ont établi la convergence, cette fois avec variance nulle, et en probabilité relativement aux environnements (communication personnelle). On montre ici, par une méthode particulièrement simple, que cette dernière convergence a lieu ponctuellement. Le problème analogue pour la diffusion continue est ensuite considéré. Enfin notre méthode nous permet de démontrer une inégalité sur la moyenne quadratique d'une diffusion.
The Central Limit Theorem for the random walk on a stationary random network of conductances has been studied by several authors. In one dimension, when conductances and resistances are integrable, and following a method of martingale introduced by S. Kozlov (1985), we can prove the Quenched Central Limit Theorem. In that case the variance of the limit law is not null. When resistances are not integrable, the Annealed Central Limit Theorem with null variance was established by Y. Derriennic and M. Lin (personal communication). The quenched version of this last theorem is proved here, by using a very simple method. The similar problem for the continuous diffusion is then considered. Finally our method allows us to prove an inequality for the quadratic mean of a diffusion.
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Depauw, Jérôme; Derrien, Jean-Marc. Variance limite d'une marche aléatoire réversible en milieu aléatoire sur $ \mathbb{Z}$. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 7-8, pp. 401-406. doi : 10.1016/j.crma.2009.01.030. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.01.030/
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[3] On birth and death processes in symmetric random environment, J. Statist. Phys., Volume 37 (1984) no. 5–6, pp. 561-576
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