Homology of free quantum groups

Collins, Benoît; Härtel, Johannes; Thom, Andreas

doi:10.1016/j.crma.2009.01.021

Functional Analysis

Homology of free quantum groups
[Homologie des groupes quantiques libres]

Présenté par : Gilles Pisier

Collins, Benoît ^1,² ; Härtel, Johannes ³ ; Thom, Andreas ³

¹ Département de mathématique et statistique, Université d'Ottawa, 585, King Edward, Ottawa, ON, K1N6N5 Canada
² CNRS, Institut Camille-Jordan, Université Lyon 1, 43, boulevard du 11 Novembre 1918, 69622 Villeurbanne, France
³ Mathematisches Institut der Universität Göttingen, Bunsenstr. 3-5, 37073 Göttingen, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 5-6, pp. 271-276.

Résumé
Abstract

Nous calculons l'homologie de Hochschild du groupe quantique libre $A_{o} (n)$ . Nous montrons qu'il vérifie une dualité de Poincaré et qu'il peut être considéré comme un objet en 3 dimensions. Nous utilisons ensuite des résultats récents de R. Vergnioux pour en déduire des résultats sur l'homologie $ℓ^{2}$ de $A_{o} (n)$ et des estimées sur la dimension libre de l'ensemble des générateurs. En particulier, nous démontrons que tous les nombres de Betti $ℓ^{2}$ de $A_{o} (n)$ sont nuls et que la dimension libre de $A_{o} (n)$ est majorée par 1.

We compute the Hochschild homology of the free orthogonal quantum group $A_{o} (n)$ . We show that it satisfies Poincaré duality and should be considered to be a 3-dimensional object. We then use recent results of R. Vergnioux to derive results about the $ℓ^{2}$ -homology of $A_{o} (n)$ and estimates on the free entropy dimension of its set of generators. In particular, we show that the $ℓ^{2}$ Betti-numbers of $A_{o} (n)$ all vanish and that the free entropy dimension is less than 1.

Reçu le : 2008-12-09
Accepté le : 2009-01-27
Publié le : 2009-02-20

DOI : 10.1016/j.crma.2009.01.021

Affiliations des auteurs :

Collins, Benoît ^{1, 2} ; Härtel, Johannes ³ ; Thom, Andreas ³

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Collins, Benoît; Härtel, Johannes; Thom, Andreas. Homology of free quantum groups. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 5-6, pp. 271-276. doi : 10.1016/j.crma.2009.01.021. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.01.021/

Bibliographie
Cité par

[1] Banica, T. Le groupe quantique compact libre $U (n)$ , Comm. Math. Phys., Volume 190 (1997) no. 1, pp. 143-172

[2] Connes, A.; Shlyakhtenko, D. $L^{2}$ -homology for von Neumann algebras, J. Reine Angew. Math., Volume 586 (2005), pp. 125-168

[3] J. Härtel, Reduktionssysteme zur Berechnung einer Auflösung der orthogonalen freien Quantengruppen $A_{o} (n)$ , Dissertation zur Erlangung des Doktortitels, Georg-August-Universität Göttingen, Mathematisch-naturwissenschaftliche Fakultäten, 2008-07-04, http://webdoc.sub.gwdg.de/diss/2008/haertel/, 2007

[4] U. Krähmer, Poincaré duality in Hochschild (co)homology, in: Proceedings of Conference “New Techniques in Hopf Algebras and Graded Ring Theory”, 2007, pp. 117–125

[5] D. Kyed, $L^{2}$ Betti numbers of coamenable quantum groups, Münster J. Math., , in press | arXiv

[6] Thom, A. $L^{2}$ -cohomology for von Neumann algebras, GAFA, Volume 18 (2008), pp. 251-270

[7] Vaes, S.; Vergnioux, R. The boundary of universal discrete quantum groups, exactness, and factoriality, Duke Math. J., Volume 140 (2007) no. 1, pp. 35-84

[8] van den Bergh, M. A relation between Hochschild homology and cohomology for Gorenstein rings, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 126 (1998) no. 5, pp. 1345-1348

[9] R. Vergnioux, Lengths on quantum Cayley trees, Preprint, 2008

[10] Wang, Sh. Free products of compact quantum groups, Comm. Math. Phys., Volume 167 (1995) no. 3, pp. 671-692

[11] Woronowicz, S.L. Compact matrix pseudogroups, Comm. Math. Phys., Volume 111 (1987) no. 4, pp. 613-665

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