On the continuity of the second Sobolev best constant

Barbosa, Ezequiel R.; Montenegro, Marcos

doi:10.1016/j.crma.2007.10.026

Differential Geometry

On the continuity of the second Sobolev best constant
[Sur la continuité de la deuxième meilleure constante de Sololev]

Présenté par : Thierry Aubin

Barbosa, Ezequiel R.¹ ; Montenegro, Marcos ¹

¹ Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Caixa Postal 702, 30123-970, Belo Horizonte, MG, Brazil

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 345 (2007) no. 10, pp. 579-582.

Résumé
Abstract

Dans cette Note nous prouvons que la deuxième meilleure constante dans l'inégalité de $L^{p}$ -Sobolev Riemannienne $B_{0} (p, g)$ dépend continûment de g dans la topologie $C^{0}$ quand $1 < p < 2$ . La situation change radicalement lorsque $p = 2$ . En particulier, nous montrons que $B_{0} (2, g)$ est continu en g dans le $C^{2}$ -topologie et ne l'est pas dans le $C^{1, β}$ -topologie.

In this Note we prove that the second Riemannian $L^{p}$ -Sobolev best constant $B_{0} (p, g)$ depends continuously on g in the $C^{0}$ -topology when $1 < p < 2$ . The situation changes significantly in the case $p = 2$ . In particular, we prove that $B_{0} (2, g)$ is continuous on g in the $C^{2}$ -topology and is not in the $C^{1, β}$ -topology.

Reçu le : 2007-07-11
Accepté le : 2007-10-12
Publié le : 2007-11-07

DOI : 10.1016/j.crma.2007.10.026

Affiliations des auteurs :

Barbosa, Ezequiel R. ¹ ; Montenegro, Marcos ¹

¹ Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Caixa Postal 702, 30123-970, Belo Horizonte, MG, Brazil

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Barbosa, Ezequiel R.; Montenegro, Marcos. On the continuity of the second Sobolev best constant. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 345 (2007) no. 10, pp. 579-582. doi : 10.1016/j.crma.2007.10.026. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.10.026/

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