Un théorème de Kušnirenko et Bernštein montre que le nombre de zéros isolés dans le tore d'un système de polynômes est majoré par le volume mixte des polytopes de Newton des polynômes donnés, et que cette borne est génériquement exacte. Nous l'améliorons néanmoins en introduisant de nouveaux invariants combinatoires des polynômes et une généralisation de la notion de volume mixte : l'intégrale mixte de fonctions concaves.
A theorem of Kušnirenko and Bernštein shows that the number of isolated roots in the torus of a system of polynomials is bounded above by the mixed volume of the Newton polytopes of the given polynomials, and that this upper bound is generically exact. We improve on this result by introducing refined combinatorial invariants of polynomials and a generalization of the mixed volume of convex bodies: the mixed integral of concave functions.
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Philippon, Patrice; Sombra, Martín. Une nouvelle majoration pour le nombre de solutions d'un système d'équations polynomiales. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 345 (2007) no. 6, pp. 335-340. doi : 10.1016/j.crma.2007.07.016. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.07.016/
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