Concerning the Ladyzhenskaya–Smagorinsky turbulence model of the Navier–Stokes equations

Beirão da Veiga, Hugo

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 345 (2007) no. 5, pp. 249-252.

Dans des articles récents (voir ci-après) nous avons démontré des résultats de régularité dans des espaces Lq pour les dérivées secondes de la vitesse et les dérivées premières de la presssion, pour des systèmes de Stokes et Navier–Stokes avec des viscosités qui dépendent de la partie symétrique du gradient des vitesses. Nous considérons seulement des résultats de régularité valables jusqu'au bord. Dans ces articles nous avons considéré des frontières plates. Tous récemment nous avons généraliser ces résultats aux cas des frontières arbitraires. Le but de cette note est de décrire ces résultats, avec des commentaires adéquats.

In some recent papers (see below) we prove regularity results in Lq(Ω) spaces for the second order derivatives of the velocity and the first order derivatives of the pressure for solutions to Stokes and Navier–Stokes systems of equations with shear thickening viscosity. We take into account only regularity results that hold up to the boundary. In the above references we consider flat boundaries. More recently, we have extended the above results to the case of curvilinear boundaries. The aim of this note is to describe these last results, together with suitable comments.

[1] Beirão da Veiga, H. On the regularity of flows with Ladyzhenskaya shear dependent viscosity and slip and non-slip boundary conditions, Comm. Pure Appl. Math., Volume 58 (2005), pp. 552-577

[2] H. Beirão da Veiga, Navier–Stokes equations with shear thickening viscosity. Regularity up to the boundary, J. Math. Fluid Mech., in press

[3] H. Beirão da Veiga, Navier–Stokes equations with shear thinning viscosity. Regularity up to the boundary, J. Math. Fluid Mech., in press

[4] H. Beirão da Veiga, On the Ladyzhenskaya–Smagorinsky turbulence model of the Navier–Stokes equations in smooth domains. The regularity problem, J. Eur. Math. Soc., submitted for publication

[5] H. Beirão da Veiga, On the global regularity of shear thinning flows in smooth domains, in press

[6] Ladyzhenskaya, O.A., Moscow, 1966 (Amer. Math. Soc. Transl. (2)), Volume vol. 70, Nauka, Moscow (1968), pp. 560-573 (English transl. in, 1968)

[7] Ladyzhenskaya, O.A. Sur de nouvelles équations dans la dynamique des fluides visqueux et leurs résolution globale, Tr. Math. Inst. Steklova, Volume CII (1967), pp. 85-104

[8] Ladyzhenskaya, O.A. Sur des modifications des équations de Navier–Stokes pour des grand gradients de vitesses, Séminaire Inst. Steklova, Volume 7 (1968), pp. 126-154

[9] Ladyzhenskaya, O.A. The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, Gordon and Breach, New York, 1969

[10] Ladyzhenskaya, O.A. Some results on modifications of three-dimensional Navier–Stokes equations (Buttazzo, G.; Galdi, G.P.; Lanconelli, E.; Pucci, P., eds.), Nonlinear Analysis and Continuum Mechanics, Springer-Verlag, New York, 1998, pp. 73-84

[11] Lions, J.L. Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites Non Linéaires, Dunod, Paris, 1969

[12] Málek, J.; Nečas, J.; Růžička, M. On the non-Newtonian incompressible fluids, Math. Models Methods Appl. Sci, Volume 3 (1993), pp. 35-63

[13] Málek, J.; Nečas, J.; Růžička, M. On weak solutions to a class of non-Newtonian incompressible fluids in bounded three-dimensional domains: the case p⩾2, Adv. Differential Equations, Volume 6 (2001), pp. 257-302

[14] Serrin, J. Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics, Encyclopedia of Physics, vol. VIII, Springer-Verlag, Berlin, 1959 (pp. 125–263)

[15] Smagorinsky, J.S. General circulation experiments with the primitive equations. I. The basic experiment, Mon. Weather Rev., Volume 91 (1963), pp. 99-164

[16] Stokes, G. Trans. Cambridge Phil. Soc., 8 287 (1845), pp. 75-129