Partial Differential Equations
Uniqueness results for pseudomonotone problems with p>2
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 8, pp. 487-492.

We consider a pseudomonotone operator, the model of which is div(b(x,u)|u|p2u) with 1<p<+ and b(x,s) a Lipschitz continuous function in s which hold satisfies 0<αb(x,s)β<+. We show that the comparison principle (and therefore the uniqueness for the Dirichlet problem) in two particular cases, namely the one-dimensional case, and the case where at least one of the right-hand sides does not change sign. To the best of our knowledge these results are new for p>2. Full detailed proofs are given in the present Note. The results continue to hold when Ω is unbounded.

Nous considérons un opérateur pseudomonotone du type div(b(x,u)|u|p2u), avec 1<p<+ et b(x,s) une fonction Lipschitzienne en s qui vérifie 0<αb(x,s)β<+. Nous démontrons que cet opérateur satisfait le principe de comparaison (et donc qu'on a unicité pour le problème de Dirichlet) dans deux cas particuliers : en dimension 1, et dans le cas où au moins l'un des deux seconds membres ne change pas de signe. A notre connaissance, ces résultats sont nouveaux quand p>2. Les démonstrations complètes sont données dans cette Note. Les résultats restent valides quand Ω est non borné.

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DOI: 10.1016/j.crma.2007.02.007
Casado-Díaz, Juan 1; Murat, François 2; Porretta, Alessio 3

1 Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Universidad de Sevilla, c/Tarfia s/n, 41012 Sevilla, Spain
2 Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, boîte courrier 187, 75252 Paris cedex 05, France
3 Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata, Via della ricerca scientifica 1, 00133 Roma, Italy
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Casado-Díaz, Juan; Murat, François; Porretta, Alessio. Uniqueness results for pseudomonotone problems with $ p>2$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 8, pp. 487-492. doi : 10.1016/j.crma.2007.02.007. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.02.007/

[1] Artola, M. Sur une classe de problèmes paraboliques quasilinéaires, Boll. Un. Mat. Ital., Volume 5 (1986), pp. 51-70

[2] Boccardo, L.; Gallouët, T.; Murat, F. Unicité de la solution de certaines équations elliptiques non linéaires, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 315 (1992) no. I, pp. 1159-1164

[3] Boccardo, L.; Murat, F.; Puel, J.-P. Quelques propriétés des opérateurs elliptiques quasi linéaires, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 307 (1988) no. I, pp. 749-752

[4] Carrillo, J. Unicité des solutions du type Kruskov pour des problèmes elliptiques avec des termes de transport non linéaires, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 303 (1986) no. I, pp. 189-192

[5] Carrillo, J.; Chipot, M. On some elliptic equations involving derivatives of the nonlinearity, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, Volume 100 (1985), pp. 281-294

[6] Casado-Díaz, J. Minimal and maximal solutions for Dirichlet pseudomonotone problems, Nonlinear Anal., Volume 43 (2001), pp. 277-291

[7] Casado-Díaz, J. The capacity for pseudomonotone operators, Potential Anal., Volume 14 (2001), pp. 73-91

[8] Casado-Díaz, J.; Porretta, A. Existence and comparison of maximal and minimal solutions for pseudomonotone elliptic problems in L1, Nonlinear Anal., Volume 53 (2003), pp. 351-373

[9] Chipot, M.; Michaille, G. Uniqueness results and monotonicity properties for strongly nonlinear elliptic variational inequalities, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Volume 16 (1989), pp. 137-166

[10] Leray, J.; Lions, J.-L. Quelques résultats de Vis˘ik sur les problèmes elliptiques non linéaires par les méthodes de Minty–Browder, Bull. Soc. Math. France, Volume 93 (1965), pp. 97-107

[11] Lions, J.-L. Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod, Paris, 1969

[12] Mokrane, A.; Murat, F. The Lewy–Stampacchia inequality for bilateral problems, Ricerche Mat., Volume 53 (2004), pp. 139-182

[13] Porretta, A. Uniqueness of solutions for some nonlinear Dirichlet problems, Nonlinear Differential Equations Appl. (NoDEA), Volume 11 (2004), pp. 407-430

Cited by Sources: