Uniqueness results for pseudomonotone problems with $ p>2$

Casado-Díaz, Juan; Murat, François; Porretta, Alessio

doi:10.1016/j.crma.2007.02.007

Partial Differential Equations

Uniqueness results for pseudomonotone problems with

p > 2

[Résultats d'unicité pour des problèmes pseudomonotones avec

p > 2

]

Présenté par : Pierre-Louis Lions

Casado-Díaz, Juan ¹ ; Murat, François ² ; Porretta, Alessio ³

¹ Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Universidad de Sevilla, c/Tarfia s/n, 41012 Sevilla, Spain
² Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, boîte courrier 187, 75252 Paris cedex 05, France
³ Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata, Via della ricerca scientifica 1, 00133 Roma, Italy

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 344 (2007) no. 8, pp. 487-492.

Résumé
Abstract

Nous considérons un opérateur pseudomonotone du type $- div (b (x, u) {| \nabla u |}^{p - 2} \nabla u)$ , avec $1 < p < + \infty$ et $b (x, s)$ une fonction Lipschitzienne en s qui vérifie $0 < α ⩽ b (x, s) ⩽ β < + \infty$ . Nous démontrons que cet opérateur satisfait le principe de comparaison (et donc qu'on a unicité pour le problème de Dirichlet) dans deux cas particuliers : en dimension 1, et dans le cas où au moins l'un des deux seconds membres ne change pas de signe. A notre connaissance, ces résultats sont nouveaux quand $p > 2$ . Les démonstrations complètes sont données dans cette Note. Les résultats restent valides quand Ω est non borné.

We consider a pseudomonotone operator, the model of which is $- div (b (x, u) {| \nabla u |}^{p - 2} \nabla u)$ with $1 < p < + \infty$ and $b (x, s)$ a Lipschitz continuous function in s which hold satisfies $0 < α ⩽ b (x, s) ⩽ β < + \infty$ . We show that the comparison principle (and therefore the uniqueness for the Dirichlet problem) in two particular cases, namely the one-dimensional case, and the case where at least one of the right-hand sides does not change sign. To the best of our knowledge these results are new for $p > 2$ . Full detailed proofs are given in the present Note. The results continue to hold when Ω is unbounded.

Reçu le : 2005-04-05
Accepté le : 2007-01-30
Publié le : 2007-04-15

DOI : 10.1016/j.crma.2007.02.007

Affiliations des auteurs :

Casado-Díaz, Juan ¹ ; Murat, François ² ; Porretta, Alessio ³

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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Casado-Díaz, Juan; Murat, François; Porretta, Alessio. Uniqueness results for pseudomonotone problems with $ p>2$. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 344 (2007) no. 8, pp. 487-492. doi : 10.1016/j.crma.2007.02.007. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.02.007/

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