On montre que les observations empiriques sur l'équation de Perona–Malik, qui intervient en particulier en traitement d'images et en océanographie, peuvent s'expliquer si l'on considère que cette équation, bien que non parabolique, définit un semi-groupe à croissance exponentielle correspondant à une perturbation lipschitzienne du flot de gradient d'une fonctionnelle convexe, dans un espace à discontinuités fixées. La stratification automatique observée numériquement correspond à l'évolution des sauts engendrée par ce flot non linéaire.
We show that numerical observations on the Perona–Malik equation, which arises in particular in image processing and in oceanography, may be accounted for by associating to this formally ill-posed PDE the gradient flow with exponential growth generated by a Lipschitz perturbation of a convex functional, in the framework of semi-group theory. The automatic stratification observed numerically is accounted for using an image model with fixed discontinuities, which are selectively attenuated, rather than smoothened, by this nonlinear flow.
Publié le :
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Kichenassamy, Satyanad. Théorie des semi-groupes pour l'équation de Perona–Malik. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 344 (2007) no. 4, pp. 225-229. doi : 10.1016/j.crma.2007.01.004. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.01.004/
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