Dynamical Systems
Liénard systems and potential-Hamiltonian decomposition I – methodology
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 2, pp. 121-126.

Following the Hodge decomposition of regular vector fields we can decompose the second member of any Liénard system into 2 (non-unique) polynomials, the first corresponding to potential and the second to Hamiltonian dynamics. This polynomial Hodge decomposition is called potential-Hamiltonian, denoted PH-decomposition, and we give it for any polynomial differential system of dimension 2. We will give in a future Note an algorithm expliciting the PH-decomposition in the neighborhood of particular orbits, like a limit-cycle for Liénard systems, the method being applicable for any polynomial differential system of dimension 2.

Un système de Liénard est un système différentiel du second ordre, du type : dx/dt=y,dy/dt=g(x)+yf(x), où g et f sont des polynômes. Un tel système est susceptible d'être décomposé, de manière non unique, en 2 parties polynomiales, l'une potentielle et l'autre hamiltonienne, c'est-à-dire qu'il existe 2 polynômes P et H vérifiant : dx/dt=P/x+H/y,dy/dt=P/yH/x. On montre, en utilisant la décomposition de Hodge des champs de vecteurs réguliers, que le second membre d'un tel système est décomposable en 2 polynômes, l'un correspondant à une dynamique de gradient et l'autre à une dynamique hamiltonienne. Cette décomposition de Hodge polynomiale est appelée potentielle-hamiltonienne, notée PH-décomposition, et nous en donnons la formule pour tout système différentiel polynomial du plan. Nous donnerons, dans une Note ultérieure, un algorithme permettant d'obtenir une formule explicite de la PH-décomposition au voisinage d'orbites particulières, telles qu'un cycle-limite dans le cas des systèmes de Liénard, la méthode étant applicable à tout système différentiel polynomial du plan.

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DOI: 10.1016/j.crma.2006.10.016
Demongeot, Jacques 1, 2; Glade, Nicolas 2; Forest, Loic 2

1 Institut Universitaire de France, France
2 TIMC-IMAG UMR CNRS 5525, University J. Fourier Grenoble, faculté de médecine, 38700 La Tronche, France
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Demongeot, Jacques; Glade, Nicolas; Forest, Loic. Liénard systems and potential-Hamiltonian decomposition I – methodology. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 2, pp. 121-126. doi : 10.1016/j.crma.2006.10.016. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.10.016/

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