On s'intéresse à l'approximation de l'équation de Poisson et des équations de Maxwell en régime harmonique autour d' un cylindre de rayon très petit. Si on souhaite résoudre numériquement l'équation par une méthode d'éléments finis on doit mailler le domaine extérieur au cylindre avec une finesse qui doit être de l'ordre du rayon du fil. Or, cette contrainte est trop forte dans un grand nombre d'applications (calcul d'environnement plasma de satellite, calculs d'antennes en électromagnétisme). Une étude mathématique de la convergence de la suite des solutions de l'équation de Poisson vers un problème limite est proposée lorsque le rayon ϵ du cylindre tend vers 0 qui permet d'obtenir une vitesse de convergence en . On propose une méthode dite approximation filaire permettant de tenir compte du fil sans avoir à discrétiser localement au voisinage du fil et convergente en au moins . Cette méthode est justifiée dans le cas de l'équation de Poisson et est étendue formellement au cas d'un fil à section quelconque puis aux équations de Maxwell en régime harmonique.
We are interested in the approximation of the Poisson and time harmonic Maxwell equations around a circular cylinder with a small radius. Numerical approximation requires a typical meshsize comparable to the radius of the cylinder, thus increasing the computational cost. In many applications (spacecraft charging computation, wire antennas modelling) the mesh size becomes too large to perform realistic computations. A mathematical study proves the convergence of the sequence of Poisson equation solutions when the radius ϵ goes to 0 toward a limit problem with a convergence rate of . A wire approximation is proposed exhibiting a rate of convergence larger that without constraint of mesh refinement related to the radius size. This method is extended to the case of arbitrary wire cross section and also to the time harmonic Maxwell equations.
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Rogier, François; Roussel, Jean-François; Volpert, Dominique. Approximations filaires pour les équations de Poisson et de Maxwell harmoniques. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 343 (2006) no. 10, pp. 633-636. doi : 10.1016/j.crma.2006.10.007. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.10.007/
[1] Phénomènes de transmission à travers des couches minces de conductivité 2 levée, J. Math. Anal. Appl., Volume 47 (1974), pp. 284-309
[2] Finite-difference analysis of EMP coupling to thin struts and wires, IEEE Trans. Antennas and Propagations, Volume EMC-23 (May 1981) no. 2, pp. 88-97
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