Soient K un corps complet pour une valuation discrète de corps résiduel parfait k, son anneau d'entiers, G un K-groupe réductif connexe. Bruhat et Tits ont défini la composante résiduellement neutre de G et calculé le . Le but de cette Note est de calculer la 2-cohomologie galoisienne de . Nous complétons ainsi nos résultats où l'étude était faite dans le cas particulier où était supposé simplement connexe et k de dimension cohomologique ⩽1. Nous montrons comment toute classe de 2-cohomologie galoisienne à valeurs dans se réduit à une classe à valeurs dans un k-tore maximal de la fibre spéciale d'un -modèle de G. On en déduit, en particulier, que si G est un K-groupe réductif connexe et si , alors toute classe de 2-cohomologie galoisienne à valeurs dans la composante résiduellement neutre de G est neutre.
Let K be a complete discrete valuation field, k its residue field, its ring of integers, and G a connected reductive K-group. Bruhat and Tits have defined the residually neutral component of G and have calculated . The aim of this Note is to calculate the Galois 2-cohomology of . We extend our results where the case simply connected and k of cohomological dimension ⩽1 is treated. We show that each class of Galois 2-cohomology in reduces to a class into a maximal k-torus of the special fiber of an -model of G. We deduce, in particular, that, if G is a connected reductive K-group and if , then each class of Galois 2-cohomology into the residually neutral component is neutral.
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Douai, Jean-Claude. Sur la 2-cohomologie galoisienne de la composante résiduellement neutre des groupes réductifs connexes définis sur les corps locaux. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 342 (2006) no. 11, pp. 813-818. doi : 10.1016/j.crma.2006.03.021. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.03.021/
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