Algebraic Geometry/Group Theory
Extended Picard complexes for algebraic groups and homogeneous spaces
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 9, pp. 671-674.

For a smooth geometrically integral algebraic variety X over a field k of characteristic 0, we define the extended Picard complex UPic(X¯). It is a complex of length 2 which combines the Picard group Pic(X¯) and the group U(X¯):=k¯[X¯]×/k¯×, where k¯ is a fixed algebraic closure of k and X¯=X×kk¯. For a connected linear k-group G we compute the complex UPic(G¯) (up to a quasi-isomorphism) in terms of the algebraic fundamental group π1(G¯). We obtain similar results for a homogeneous space X of a connected k-group G.

Soient k un corps de caractéristique zéro et X une k-variété algébrique lisse et géométriquement intègre. Nous définissons le complexe de Picard étendu UPic(X¯). C'est un complexe de longueur 2 qui combine le groupe de Picard Pic(X¯) et le groupe U(X¯):=k¯[X¯]×/k¯×, où k¯ est une clôture algébrique fixée de k et X¯=X×kk¯. Pour un k-groupe linéaire connexe G, nous calculons le complexe UPic(G¯) (à quasi-isomorphisme près) en termes du groupe fondamental algébrique π1(G¯). Nous obtenons des résultats similaires pour un espace homogène X d'un k-groupe connexe G.

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DOI: 10.1016/j.crma.2006.02.030
Borovoi, Mikhail 1; van Hamel, Joost 2

1 School of Mathematical Sciences, Tel Aviv University, 69978 Tel Aviv, Israel
2 K.U. Leuven, Departement Wiskunde, Celestijnenlaan 200B, B-3001 Leuven (Heverlee), Belgium
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Borovoi, Mikhail; van Hamel, Joost. Extended Picard complexes for algebraic groups and homogeneous spaces. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 9, pp. 671-674. doi : 10.1016/j.crma.2006.02.030. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.02.030/

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