[Cohomologie des feuilletages riemanniens singuliers]
La filtration du complexe de De Rham d'une variété feuilletée définit une suite spectrale reliant les cohomologies basique et feuilletée du feuilletage à la cohomologie de De Rham de la variété ambiance. Pour un feuilletage riemannien d'une variété compacte le deuxième terme de cette suite spectrale est un invariant topologique de dimension finie.
Dans cette Note, nous prouvons la finitude et l'invariance topologique de ce terme pour les feuilletages riemanniens singuliers. La preuve combine les résultats du cas régulier avec la description de la structure des feuilletages riemanniens singuliers faite par P. Molino. Pour la cohomologie basique, ces résultats ont été prouvés par R. Wolak.
Associated to a smooth foliation are defined the basic and the foliated cohomologies. These cohomologies are related to the de Rham cohomology by the de Rham spectral sequence of , , constructed by filtering the de Rham complex of the manifold. For a Riemannian foliation on a compact manifold the second term of this spectral sequence, , is finite dimensional and a topological invariant.
In this Note we prove these two results, fitness dimension and topological invariance, for the cohomology of singular Riemannian foliations. The proof uses the previous theorems for the regular case and the structure of singular Riemannian foliations described by P. Molino. For the basic cohomology these results have been proved by R. Wolak.
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Masa, Xosé M.; Rodríguez-Fernández, Ana. Cohomology of singular Riemannian foliations. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 342 (2006) no. 8, pp. 601-604. doi : 10.1016/j.crma.2006.02.022. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.02.022/
[1] A finiteness theorem for the spectral sequence of a Riemannian foliation, Illinois J. Math., Volume 33 (1989), pp. 79-92
[2] Alexander–Spanier cohomology of foliated manifolds, Illinois J. Math., Volume 46 (2002), pp. 979-998
[3] Riemannian Foliations, Progr. Math., Birkhäuser, 1988
[4] Basic cohomology for singular Riemannian foliations, Monatsh. Math., Volume 128 (1999), pp. 159-163
Cité par Sources :
