Un théorème de Liouville pour l'opérateur de Schrödinger avec dérive

Asserda, Saïd

doi:10.1016/j.crma.2006.01.007

Équations aux dérivées partielles/Géométrie différentielle

Un théorème de Liouville pour l'opérateur de Schrödinger avec dérive

Présenté par : Bernard Malgrange

Asserda, Saïd ¹

¹ Laboratoire d'analyse fonctionnelle, harmonique et complexe, équipe d'analyse complexe, université Ibn Tofail, faculté des sciences, département des mathématiques, BP 133, Kénitra, Maroc

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 342 (2006) no. 6, pp. 393-398.

Résumé
Abstract

Soit $(M, g)$ une variété riemanniene complète sans bord de dimension n. Soit V un champ de vecteurs de classe $C^{2}$ sur M tel que $r (x) | V (x) |$ soit borné. On suppose qu'en dehors d'un compact de M on a ${Ric}_{g} (x) ⩾ - \min {λ (r (x)) - μ_{\nabla V} (x), β (r (x))}$ , où $μ_{\nabla V}$ est la plus grande valeur propre de ∇V et $λ, β$ sont des fonctions décroissantes non négatives avec $\lim_{t \to + \infty} t^{2} λ (t) = 0$ . Il existe des constantes positives $b_{n}$ et $c_{n}$ dépendant seulement de n et $‖ V ‖_{\infty}$ tels que si h est une fonction de classe $C^{2}$ sur M vérifiant $Δ h ⩾ - c_{n} a^{2}$ et ${lim sup}_{R \to \infty} R^{−2} \min_{x \in B_{p} (3 R) ∖ B_{p} (R)} h (x) ⩾ - b_{n} a^{2}$ où $0 ⩽ a < {lim inf}_{j \to \infty} h (z_{j})$ pour $(z_{j})$ une suite de points de M vérifiant $r (z_{j}) \to \infty$ , alors l'équation $Δ u (x) + V (x) \cdot \nabla u (x) + h (x) u (x) = 0$ n'admet pas de solution positive de classe $C^{2}$ sur M.

Let $(M, g)$ be a complete Riemannian manifold without boundary of dimension n and V be a $C^{2}$ vector field on M such that $r (x) | V (x) |$ is bounded. Suppose that ${Ric}_{g} (x) ⩾ - \min {λ (r (x)) - μ_{\nabla V} (x), β (r (x))}$ outside a compact set of M, where $μ_{\nabla V}$ denotes the upper eigenvalue of ∇V and $λ, β$ are non-negative decreasing functions such that $\lim_{t \to + \infty} t^{2} λ (t) = 0$ . There exists positive numbers $b_{n}$ and $c_{n}$ which depend only on n and $‖ V ‖_{\infty}$ such that if h is a $C^{2}$ function defined on M with $Δ h ⩾ - c_{n} a^{2}$ and ${lim sup}_{R \to \infty} R^{−2} \min_{x \in B_{p} (3 R) ∖ B_{p} (R)} h (x) ⩾ - b_{n} a^{2}$ , where $0 ⩽ a < {lim inf}_{j \to \infty} h (z_{j})$ , where $(z_{j})$ is a sequence of M such that $r (z_{j}) \to \infty$ , then the equation $Δ u (x) + V (x) \cdot \nabla u (x) + h (x) u (x) = 0$ has no positive $C^{2}$ solution on M.

Reçu le : 2005-07-06
Accepté le : 2005-12-19
Publié le : 2006-02-15

DOI : 10.1016/j.crma.2006.01.007

Affiliations des auteurs :

Asserda, Saïd ¹

¹ Laboratoire d'analyse fonctionnelle, harmonique et complexe, équipe d'analyse complexe, université Ibn Tofail, faculté des sciences, département des mathématiques, BP 133, Kénitra, Maroc

@article{CRMATH_2006__342_6_393_0,
     author = {Asserda, Sa{\"\i}d},
     title = {Un th\'eor\`eme de {Liouville} pour l'op\'erateur de {Schr\"odinger} avec d\'erive},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {393--398},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {342},
     number = {6},
     year = {2006},
     doi = {10.1016/j.crma.2006.01.007},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.01.007/}
}

TY  - JOUR
AU  - Asserda, Saïd
TI  - Un théorème de Liouville pour l'opérateur de Schrödinger avec dérive
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2006
SP  - 393
EP  - 398
VL  - 342
IS  - 6
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.01.007/
DO  - 10.1016/j.crma.2006.01.007
LA  - fr
ID  - CRMATH_2006__342_6_393_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Asserda, Saïd
%T Un théorème de Liouville pour l'opérateur de Schrödinger avec dérive
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2006
%P 393-398
%V 342
%N 6
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.01.007/
%R 10.1016/j.crma.2006.01.007
%G fr
%F CRMATH_2006__342_6_393_0

Asserda, Saïd. Un théorème de Liouville pour l'opérateur de Schrödinger avec dérive. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 342 (2006) no. 6, pp. 393-398. doi : 10.1016/j.crma.2006.01.007. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.01.007/

Bibliographie
Cité par

[1] Calabi, E. An extention of E. Hopf's maximum principle with application to Riemannian geometry, Duke Math. J., Volume 25 (1958), pp. 45-56

[2] Cheng, S.Y.; Yau, S.T. Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications, Comm. Pure Appl. Math., Volume 28 (1975) no. 3, pp. 333-354

[3] Escobar, J.F.; Freire, A.; Min-Oo, M. L² vanishing theorems in positive curvature, Indiana Univ. Math. J., Volume 42 (1993) no. 4, pp. 1545-1554

[4] Gonzalez, B.J.; Negrin, E.R. Gradient estimates for the positive solutions of the Laplacian with drift, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 127 (1999) no. 2, pp. 619-625

[5] Li, J. Gradient estimates and Harnack inequalities for nonlinear parabolic and nonlinear elliptic equations on Riemannian manifolds, J. Funct. Anal., Volume 199 (1991), pp. 233-256

[6] Li, P.; Yau, S.T. On the parabolic kernel of the Schrödinger operator, Acta Math., Volume 156 (1986), pp. 153-201

[7] Melas, A.D. A Liouville type theorem for the Schrödinger operator, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 127 (1999) no. 11, pp. 3353-3359

[8] Negrin, E.R. Gradient estimates and a Liouville type theorem for the Schrödinger operator, J. Func. Anal., Volume 127 (1995), pp. 198-203

[9] Yau, S.T. Harmonic functions on complete Riemannian manifolds, Comm. Pure Appl. Math., Volume 28 (1975), pp. 201-228

Cité par Sources :