no. 5
Géométrie algébrique
Résolutions de singularités non-abéliennes en dimension trois

Présenté par : Jean-Pierre Demailly

Térouanne, Sophie1
1 Université Grenoble 1, institut Fourier, BP 74, 38402 Saint Martin d'Hères, France
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 342 (2006) no. 5, pp. 329-332.

Soit E une courbe elliptique, R un système de racines réel en dimension trois, et W le groupe de Weyl associé. Ce groupe fini agit naturellement sur E⊗Q(R) et le quotient est un espace projectif avec poids. Soit W+=W∩SL3(C). Le quotient E⊗Q(R)/W+ admet deux résolutions crépantes naturelles. L'une est le résultat d'un processus de désingularisation dû à Jung, et l'autre est le schéma de Hilbert équivariant. Pour les comparer, nous calculons les fibres de ces résolutions au dessus de chaque point singulier. Nous exhibons un phénomène de correspondance de McKay lors de la résolution par le schéma de Hilbert, et une nouvelle famille de fibrés sur E indéxée par le W+-schéma de Hilbert.

Let E be an elliptic curve and R be a real three dimensional root system. Let W be the Weyl group associated to R. Denote W+=W∩SL3(C). The quotient E⊗Q(R)/W+ admits two natural crepant resolutions. One is the result of a Jung process of desingularization of singularities, the other the equivariant Hilbert scheme. To compare these resolutions, we calculate the fibres over any singular point in both cases. We exhibit a McKay correspondence phenomenon for the Hilbert scheme resolution and construct a new family of vector bundles on E parametrized by the W+-Hilbert scheme.

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.12.010
Térouanne, Sophie 1

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Térouanne, Sophie. Résolutions de singularités non-abéliennes en dimension trois. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 342 (2006) no. 5, pp. 329-332. doi : 10.1016/j.crma.2005.12.010. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.12.010/

[1] Looijenga, E. Root system and elliptic curves, Invent. Math., Volume 38 (1976), pp. 17-32

[2] Bertin, J.; Markushevich, D. Singularités quotients non abéliennes de dimension 3 et variétés de Calabi–Yau, Math. Ann., Volume 299 (1994), pp. 105-116

[3] Bridgeland, T.; King, A.; Reid, M. The McKay correspondence as an equivalence of derived categories, J. Amer. Math. Soc., Volume 14 (2001) no. 3, pp. 535-554

[4] McKay, J. Cartan matrices, finite groups of quaternions, and Kleinian singularities, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 81 (1981), pp. 153-154

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[6] S. Térouanne, Correspondance de McKay : variations en dimension trois, Thèse de doctorat de mathématiques de l'université Joseph Fourier, 2004

Cité par Sources :