Algebraic Geometry
On the Łojasiewicz numbers, II
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 6, pp. 357-360.

For every holomorphic function in two complex variables with an isolated critical point at the origin we consider the Łojasiewicz exponent L0(f) defined to be the smallest θ>0 such that |gradf(z)|c|z|θ near 0C2 for some c>0. The numbers L0(f) are rational. In this Note we discuss the interplay between arithmetical properties of the rationals L0(f) and topological properties of plane curve singularities f=0.

Pour toute fonction holomorphe f de deux variables complexes ayant un point critique isolé à l'origine nous considérons l'exposant de Łojasiewicz L0(f) égal, par definition, au plus petit nombre θ>0 tel que |gradf(z)|c|z|θ dans un voisinage de 0C2. Dans cette Note nous étudions le rapport entre des propriétés arithmétiques de l'exposant L0(f) et des propriétés topologiques de la singularité plane f=0.

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DOI: 10.1016/j.crma.2005.06.033
García Barroso, Evelia 1; Krasiński, Tadeusz 2; Płoski, Arkadiusz 3

1 Departamento de Matemática Fundamental, Facultad de Matemáticas, Universidad de La Laguna, 38271 La Laguna, Tenerife, Spain
2 Faculty of Mathematics, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland
3 Department of Mathematics, Technical University, Al. 1000 L PP7, 25-314 Kielce, Poland
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[1] García Barroso, E.; Płoski, A. On the Łojasiewicz numbers, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 336 (2003), pp. 585-588

[2] Kouchnirenko, A.G. Polyèdres de Newton et nombres de Milnor, Invent. Math., Volume 32 (1976), pp. 1-31

[3] M. Lejeune-Jalabert, B. Teissier, Clôture integrale des idéaux et équisingularite, in: Séminaire Lejeune-Teissier, Centre de Mathématiques, École Polytechnique, Université Scientifique et Medicale de Grenoble, 1974

[4] Lenarcik, A. On the Łojasiewicz exponent of the gradient of a holomorphic function, Singularities, Symposium Łojasiewicz, 70, Banach Center Publications, vol. 44, PWN, Warszawa, 1998, pp. 149-166

[5] Płoski, A. Multiplicity and the Łojasiewicz exponent, Singularities, Banach Center Publications, vol. 20, PWN, Warsaw, 1988, pp. 353-364

[6] Teissier, B. Variétés polaires. I. Invariants polaires des singularités d'hypersurfaces, Invent. Math., Volume 40 (1977), pp. 267-292

[7] Zariski, O. Le problème des modules pour les branches planes, Hermann, Paris, 1986 (x+212 pp)

Cited by Sources: