no. 6
Harmonic Analysis
Wavelet series built using multifractal measures
[Séries d'ondelettes issues de mesures multifractales]

Présenté par : Yves Meyer

Barral, Julien1 ; Seuret, Stéphane1
1 Équipe Sosso2, INRIA Rocquencourt, B.P. 105, 78153 Le Chesnay cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 341 (2005) no. 6, pp. 353-356.

Étant donnée une mesure borélienne positive μ définie sur R, il est naturel de lui associer une série d'ondelettes Fμ(x)=∑j⩾0,k∈Zdj,kψj,k(x) en prescrivant ses coefficients d'ondelettes de la façon suivante : on pose |dj,k|=2−j(s0−1/p0)μ([k2−j,(k+1)2−j))1/p0, où s0,p0⩾0, s0−1/p0>0. Nous montrons comment les propriétés multifractales de la mesure μ peuvent se transmettre à la série d'ondelettes Fμ. Nous étudions la stabilité de la construction après perturbation des coefficients d'ondelettes. Ce travail permet de calculer le spectre multifractal des cascades aléatoires d'ondelettes d'Arnéodo et al.

Let μ be a positive locally finite Borel measure on R. A natural way to construct multifractal wavelet series Fμ(x)=∑j⩾0,k∈Zdj,kψj,k(x) is to set |dj,k|=2−j(s0−1/p0)μ([k2−j,(k+1)2−j))1/p0, where s0,p0⩾0, s0−1/p0>0. Under suitable conditions, the function Fμ inherits the multifractal properties of μ. The transposition of multifractal properties works with most classes of statistically self-similar multifractal measures. Several perturbations of the wavelet coefficients and their impact on the multifractal nature of Fμ are studied. As an application, the multifractal spectrum of the celebrated W-cascades introduced by Arnéodo et al. is obtained.

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.06.029
Barral, Julien 1 ; Seuret, Stéphane 1

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