Temps d'instabilité pour les perturbations de systèmes intégrables analytiques

Marco, Jean-Pierre

doi:10.1016/j.crma.2004.12.019

Systèmes dynamiques

Temps d'instabilité pour les perturbations de systèmes intégrables analytiques

Présenté par : Charles-Michel Marle

Marco, Jean-Pierre ¹

¹ Institut de mathématiques de Jussieu, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 4, pp. 295-300.

Résumé
Abstract

Pour $n \in N^{*}$ et $R > 0$ on pose $B_{R}^{n} = {x \in R^{n} | ‖ x ‖_{\infty} < R}$ . Soient $n ⩾ 4$ et $R > 1$ . On construit une suite ${(H_{j})}_{j ⩾ 0}$ de Hamiltoniens analytiques sur un voisinage complexe V de $T^{n} \times B_{R}$ , perturbations du Hamiltonien $ℏ (r) = \frac{1}{2} (r_{1}^{2} + \dots + r_{n - 1}^{2}) + r_{n}$ , qui possèdent des points pour lesquels le temps de dérive suivant les variables d'action est majoré par $\exp c {(1 / ɛ_{j})}^{1 / 2 (n - 3)}$ , où $c > 0$ est une constante et $ɛ_{j} = ‖ H_{j} - ℏ ‖_{C^{0} (V)}$ . Les orbites considérées passent près de résonances doubles, le résultat est donc presque optimal puisque l'exposant de stabilité pour de telles orbites est $1 / 2 (n - 2)$ .

For a positive integer n and $R > 0$ , we set $B_{R}^{n} = {x \in R^{n} | ‖ x ‖_{\infty} < R}$ . Given $n ⩾ 4$ and $R > 1$ we construct a sequence of analytic perturbations $(H_{j})$ of the completely integrable Hamiltonian $ℏ (r) = \frac{1}{2} (r_{1}^{2} + \dots + r_{n - 1}^{2}) + r_{n}$ on $T^{n} \times B_{R}^{n}$ , with unstable orbits for which we can estimate the time of drift in the action space. These functions $H_{j}$ are analytic on a fixed complex neighborhood V of $T^{n} \times B_{R}^{n}$ , and if $ɛ_{j} : = ‖ H_{j} - ℏ ‖_{C^{0} (V)}$ the time of drift of these orbits is smaller than $\exp (c {(1 / ɛ_{j})}^{1 / 2 (n - 3)})$ for a fixed constant $c > 0$ . Our unstable orbits pass close to a doubly resonant surface, so the result is almost optimal since the stability exponent for such orbits is $1 / 2 (n - 2)$ .

Reçu le : 2004-09-28
Accepté le : 2004-12-12
Publié le : 2005-01-22

DOI : 10.1016/j.crma.2004.12.019

Affiliations des auteurs :

Marco, Jean-Pierre ¹

¹ Institut de mathématiques de Jussieu, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France

@article{CRMATH_2005__340_4_295_0,
     author = {Marco, Jean-Pierre},
     title = {Temps d'instabilit\'e pour les perturbations de syst\`emes int\'egrables analytiques},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {295--300},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {340},
     number = {4},
     year = {2005},
     doi = {10.1016/j.crma.2004.12.019},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.12.019/}
}

TY  - JOUR
AU  - Marco, Jean-Pierre
TI  - Temps d'instabilité pour les perturbations de systèmes intégrables analytiques
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2005
SP  - 295
EP  - 300
VL  - 340
IS  - 4
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.12.019/
DO  - 10.1016/j.crma.2004.12.019
LA  - fr
ID  - CRMATH_2005__340_4_295_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Marco, Jean-Pierre
%T Temps d'instabilité pour les perturbations de systèmes intégrables analytiques
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2005
%P 295-300
%V 340
%N 4
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.12.019/
%R 10.1016/j.crma.2004.12.019
%G fr
%F CRMATH_2005__340_4_295_0

Marco, Jean-Pierre. Temps d'instabilité pour les perturbations de systèmes intégrables analytiques. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 4, pp. 295-300. doi : 10.1016/j.crma.2004.12.019. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.12.019/

Bibliographie
Cité par

[1] Easton, R.; McGehee, R. Homoclinic phenomena for orbits doubly asymptotic to an invariant three-sphere, Indiana Univ. Math. J., Volume 28 (1979) no. 2

[2] Kuksin, S.; Pöschel, J. On the inclusion of analytic symplectic maps in analytic Hamiltonian flows and its applications, Seminar on Dynamical Systems (St. Petersburg, 1991), Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., vol. 12, Birkhäuser, Basel, 1994, pp. 96-116

[3] P. Lochak, J.-P. Marco, Diffusion times and stability exponents for nearly-integrable analytic systems, soumis aux CEMJ

[4] Lochak, P.; Neishtadt, A.I. Estimates in the theorem of N.N. Nekhorocheff for systems with a quasi-convex Hamiltonian, Chaos, Volume 2 (1992), pp. 495-499

[5] J.-P. Marco, Uniform lower bounds of the splitting for analytic symplectic systems, soumis aux Ann. Inst. Fourier

[6] Marco, J.-P.; Sauzin, D. Stability and instability for Gevrey quasi-convex near-integrable Hamiltonian systems, Publ. Math. I.H.E.S., Volume 96 (2003)

[7] Pöschel, J. Nekhoroshev estimates for quasi-convex Hamiltonian systems, Math. Z., Volume 213 (1993), pp. 187-216

Cité par Sources :